8.2.2. Совокупный критерий согласия

Во многих случаях предпочтительнее не рассматривать отдельные , а оценить неадекватность модели, например, по первым 20 автокорреляциям, рассматриваемым как единое целое. Положим, что мы располагаем первыми  автокорреляциями любого процесса . Можно показать [77], что если подгоняемая модель удовлетворительна, то

                                                            (8.2.2)

распределено приближенно как , где  — число значений , используемых при подгонке модели. С другой стороны, если модель не соответствует данным, среднее значение  поднимется. Следовательно, общий, или «совокупный», критерий проверки гипотезы об адекватности модели, предложенный с учетом описанных выше трудностей, можно провести, сопоставив наблюденное значение  с таблицей -распределения (такой, как таблица  в конце книги).

Модель (0,2,2), подогнанная к ряду . Для иллюстрации применения совокупного критерия  в табл. 8.1 приведены первые 25 автокорреляций  остаточных ошибок процесса , — одной из моделей, подгонявшихся в гл. 7 к ряду .

Таблица 8.1. Автокорреляции  остаточных ошибок модели , подогнанной к ряду

1 2 3 4 5	0,020 0,032 -0,125 -0,078 -0,011	6 7 8 9 10	-0,033 0,022 -0,056 -0,130 0,093	11 12 13 14 15	-0,129 0,063 -0,084 0,022 -0,066	16 17 18 19 20	-0,050 0,153 -0,092 -0,005 -0,015	21 22 23 24 25	0,007 0,132 0,012 -0,012 -0,127

Так как число наблюдений , приблизительная верхняя граница стандартной ошибки автокорреляции равна . По сравнению с этой границей стандартной ошибки все величины  слишком велики. Конечно, редкие большие отклонения могут встречаться даже в случайном ряде, но при рассмотрении этих результатов в целом должно появиться подозрение о недостаточной подгонке модели.

Чтобы сделать более строгое заключение, сравним величину

с таблицей  с 23 степенями свободы. 90- и 95%-ные квантили для  с 23 степенями свободы равны соответственно 32,0 и 35,2. Следовательно, возникает некоторое сомнение в адекватности этой модели.

Модель (0, 1, 1), подгоняемая к ряду . Первые 25 автокорреляций остаточных ошибок для модели , которая в гл. 7 была признана наиболее подходящей для описания ряда , приведены в табл. 8.2. Для этой модели . Сравнение с таблицей  для 24 степеней свободы показывает, что нет оснований для сомнения в адекватности этой модели.

Таблица 8.2. Автокорреляции  остаточных ошибок для модели , подгоняемой к ряду

1 2 3 4 5	-0,007 -0,002 -0,061 -0,014 0,047	6 7 8 9 10	0,019 0,073 -0,030 -0,097 0,133	11 12 13 14 15	-0,098 0,074 -0,054 0,034 0,002	16 17 18 19 20	-0,039 0,165 -0,083 -0,004 -0,009	21 22 23 24 25	0,001 0,129 0,014 -0,017 -0,129

В табл. 8.3 подытожены значения статистики , основанной на 25 остаточных автокорреляциях для моделей из табл. 7.13, подгоняемых к рядам .

Рассмотрение табл. 8.3 показывает, что имеются только два подозрительно больших значения . Одно из них — это значение 33,7, полученное после подгонки модели  к ряду , которое мы уже обсуждали Другое значение  получено после подгонки модели  к ряду . Оно свидетельствует о возможной неадекватности модели, так как 95- и 97,5%-ные квантили для  с 24 степенями свободы равны соответственно 36,4 и 39,3. Возможную природу этой неадекватности мы рассмотрим в следующем разделе.

Таблица 8.3. Сводка результатов совокупного критерия, примененного к остаточным ошибкам различных моделей, подгоняемых к рядам

Ряд		Подгоняемая модель		Число степеней свободы
	197 196 368 225 224   310 309 100 100 70		26,5 29,9 37,1 28,9 33,7   10,8 18,0 23,7 23,7 11,3	23 24 24 24 23   24 24 23 22 23