8.2.2. Совокупный критерий согласия
Во многих случаях предпочтительнее не рассматривать отдельные
, а оценить неадекватность модели, например, по первым 20 автокорреляциям, рассматриваемым как единое целое. Положим, что мы располагаем первыми
автокорреляциями любого процесса
. Можно показать [77], что если подгоняемая модель удовлетворительна, то
(8.2.2)
распределено приближенно как
, где
— число значений
, используемых при подгонке модели. С другой стороны, если модель не соответствует данным, среднее значение
поднимется. Следовательно, общий, или «совокупный», критерий проверки гипотезы об адекватности модели, предложенный с учетом описанных выше трудностей, можно провести, сопоставив наблюденное значение
с таблицей
-распределения (такой, как таблица
в конце книги).
Модель (0,2,2), подогнанная к ряду
. Для иллюстрации применения совокупного критерия
в табл. 8.1 приведены первые 25 автокорреляций
остаточных ошибок процесса
, — одной из моделей, подгонявшихся в гл. 7 к ряду
.
Таблица 8.1. Автокорреляции
остаточных ошибок модели
, подогнанной к ряду 

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
1
2
3
4
5
|
0,020
0,032
-0,125
-0,078
-0,011
|
6
7
8
9
10
|
-0,033
0,022
-0,056
-0,130
0,093
|
11
12
13
14
15
|
-0,129
0,063
-0,084
0,022
-0,066
|
16
17
18
19
20
|
-0,050
0,153
-0,092
-0,005
-0,015
|
21
22
23
24
25
|
0,007
0,132
0,012
-0,012
-0,127
|
Так как число наблюдений
, приблизительная верхняя граница стандартной ошибки автокорреляции равна
. По сравнению с этой границей стандартной ошибки все величины
слишком велики. Конечно, редкие большие отклонения могут встречаться даже в случайном ряде, но при рассмотрении этих результатов в целом должно появиться подозрение о недостаточной подгонке модели.
Чтобы сделать более строгое заключение, сравним величину

с таблицей
с 23 степенями свободы. 90- и 95%-ные квантили для
с 23 степенями свободы равны соответственно 32,0 и 35,2. Следовательно, возникает некоторое сомнение в адекватности этой модели.
Модель (0, 1, 1), подгоняемая к ряду
. Первые 25 автокорреляций остаточных ошибок для модели
, которая в гл. 7 была признана наиболее подходящей для описания ряда
, приведены в табл. 8.2. Для этой модели
. Сравнение с таблицей
для 24 степеней свободы показывает, что нет оснований для сомнения в адекватности этой модели.
Таблица 8.2. Автокорреляции
остаточных ошибок для модели
, подгоняемой к ряду 

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
1
2
3
4
5
|
-0,007
-0,002
-0,061
-0,014
0,047
|
6
7
8
9
10
|
0,019
0,073
-0,030
-0,097
0,133
|
11
12
13
14
15
|
-0,098
0,074
-0,054
0,034
0,002
|
16
17
18
19
20
|
-0,039
0,165
-0,083
-0,004
-0,009
|
21
22
23
24
25
|
0,001
0,129
0,014
-0,017
-0,129
|
В табл. 8.3 подытожены значения статистики
, основанной на 25 остаточных автокорреляциях для моделей из табл. 7.13, подгоняемых к рядам
.
Рассмотрение табл. 8.3 показывает, что имеются только два подозрительно больших значения
. Одно из них — это значение 33,7, полученное после подгонки модели
к ряду
, которое мы уже обсуждали Другое значение
получено после подгонки модели
к ряду
. Оно свидетельствует о возможной неадекватности модели, так как 95- и 97,5%-ные квантили для
с 24 степенями свободы равны соответственно 36,4 и 39,3. Возможную природу этой неадекватности мы рассмотрим в следующем разделе.
Таблица 8.3. Сводка результатов совокупного критерия, примененного к остаточным ошибкам различных моделей, подгоняемых к рядам 
Ряд
|

|
Подгоняемая модель
|

|
Число
степеней
свободы
|






|
197
196
368
225
224
310
309
100
100
70
|
 






 
|
26,5
29,9
37,1
28,9
33,7
10,8
18,0
23,7
23,7
11,3
|
23
24
24
24
23
24
24
23
22
23
|