9.1.2. Сезонные модели, включающие подстраивающиеся синусоиды и косинусоиды

Общая линейная модель

                          (9.1.2)

с подходящими значениями коэффициентов  и  вполне адекватна для описания многих временных рядов. Проблема заключается в выборе экономичной параметризации для такой модели. Как уже отмечалось выше, это не математическая проблема, а вопрос о том, как узнать тенденции поведения всевозможных явлений. Решать эту проблему можно, опробуя различные идеи на наблюденных временных рядах и развивая концепции, дающие полезные результаты.

Мы видели, что для несезонных рядов обычно удается получить полезное и экономичное представление вида

.                                                      (9.1.3)

Более того, обобщенный оператор авторегрессии  определяет эвентуальную прогнозирующую функцию, являющуюся решением разностного уравнения

,

где подразумевается, что  действует на . При описании сезонных явлений прогнозирующая функция должна обладать способностью к предсказанию периодичности. На первый взгляд кажется, что  должно дать прогнозирующую функцию в виде суммы синусоид и косинусоид, возможно, с добавлением полиномиальных членов; такая функция позволит предсказать изменения уровня и периодические (сезонные) изменения. Такая прогнозирующая функция может быть естественным образом получена в рамках общей модели (9.1.3). Например, для ежемесячных данных прогнозирующая функция в виде синусоиды с 12-месячным периодом, подстраивающейся фазой и амплитудой удовлетворяет разностному уравнению

,

где  действует на . Однако неверно, что экономичный способ описания периодического поведения — это представление его суммой синусоид и косинусоид. Например, потребуется много гармонических компонент, чтобы описать данные о сбыте, на которые влияют рождественские и пасхальные праздники и другие сезонные распродажи. В качестве экзотического примера можно указать, что распродажа изделий для фейерверка в Великобритании происходит в основном в недели, предшествующие празднованию раскрытия «порохового заговора» Гая Фокса 5 ноября. Попытка описать отдельный «выброс» распродажи изделий для фейерверка непосредственно при помощи синусоид и косинусоид была бы крайне неэкономичной. Ясно, что требуется рассмотреть эту проблему более внимательно.

В нашем предыдущем анализе мы не всегда оценивали все компоненты . Когда для получения стационарности нужно было брать разности  раз, мы писали , что эквивалентно приравниванию  корней уравнения  единице. Если такое представление оказывалось адекватным, мы могли продолжать более простой анализ ряда . Таким образом, мы использовали  как упрощающий оператор. В других задачах могут оказаться полезными другие типы упрощающих операторов. Например, потребление нефти как топлива зависит от внешней температуры, которая из-за вращения Земли вокруг Солнца меняется приблизительно как синусоида с периодом 12 мес. При анализе сбыта нефти может оказаться целесообразным введение упрощающего оператора  в качестве одной из компонент обобщенного оператора авторегрессии . Если такое представление оказалось полезным, мы можем продолжать дальнейший, более простой анализ ряда . Этот оператор, как можно заметить, принадлежит к классу однородных нестационарных операторов и имеет нули  на единичной окружности.