9.1.3. Общая мультипликативная модель сезонного ряда

Упрощающий оператор . Фундаментальным фактом, относящимся к сезонным временным рядам, является сходство наблюдений, разделенных интервалом . Следовательно, можно ожидать, что операция будет играть особо важную роль в анализе сезонных рядов; далее, так как в ряде можно ожидать нестационарности, может оказаться полезным упрощающий оператор . Устойчивый нестационарный оператор имеет нулей равномерно распределенных на единичной окружности. Далее, эвентуальная прогнозирующая функция удовлетворяет уравнению и поэтому может (но не обязана) быть представлена в виде набора синусоид и косинусоид

где — подстраивающиеся коэффициенты и для четных для нечетных .

Мультипликативная модель. Когда мы имеем дело с рядом, проявляющим сезонные особенности с известным периодом , полезно представить данные в виде таблицы, состоящей из столбцов, как, например, табл. 9.1, содержащая логарифмы данных об авиаперевозках. (Перед анализом данных о распродажах и других временных рядах этого типа часто переходят к логарифмам, поскольку сопоставимыми при разных объемах распродажи могут быть процентные флуктуации.)

Таблица 9.1. Натуральные логарифмы месячных количеств (в тыс.) пассажирских перевозок на международных авиалиниях (ряд )

Годы

Янв

Февр

Март

Апр

Май

Июнь

Июль

Авг

Сент

Окт

Нояб

Дек

1949

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

4,718

4,745

4,977

5,142

5,278

5,318

5,489

5,649

5,753

5,829

5,886

6,033

4,771

4,836

5,011

5,193

5,278

5,236

5,451

5,624

5,707

5,762

5,835

5,969

4,883

4,949

5,182

5,263

5,464

5,460

5,587

5,759

5,875

5,892

6,006

6,038

4,860

4,905

5,094

5,199

5,460

5,425

5,595

5,746

5,852

5,981

6,133

4,796

4,828

5,147

5,209

5,434

5,455

5,598

5,762

5,872

5,894

6,040

6,157

4,905

5,004

5,182

5,384

5,493

5,576

5,753

5,924

6,045

6,075

6,157

6,282

4,997

5,136

5,293

5,438

5,576

5,710

5,897

6,023

6,146

6,196

6,306

6,433

4,997

5,136

5,293

5,489

5,606

5,680

5,849

6,004

6,146

6,225

6,326

6,407

4,913

5,063

5,215

5,342

5,468

5,557

5,743

5,872

6,001

6,138

6,230

4,779

4,890

5,088

5,252

5,352

5,434

5,613

5,724

5,849

5,883

6,009

6,133

4,644

4,763

4,984

5,147

5,193

5,313

5,468

5,602

5,720

5,737

5,892

5,966

4,771

4,942

5,112

5,268

5,303

5,434

5,628

5,724

5,817

5,820

6,004

6,068

Структура табл. 9.1 подчеркивает, что в периодических данных важен не один, а два временных интервала. В этом примере эти интервалы соответствуют месяцу и году. Конкретнее, мы ожидаем, что существуют определенные соотношения между

а) наблюдениями за последовательные месяцы данного года,

б) наблюдениями того же месяца в последовательные годы.

Ситуация несколько сходна с встречаемой при изучении таблиц с двумя входами в дисперсионном анализе, где можно ожидать сходства между наблюдениями в одной и той же строке или в одном и том же столбце.

Если рассмотреть с этой точки зрения табл. 9.1, то сезонный эффект должен проявиться в ней так: наблюдения за какой-либо месяц (скажем, апрель) некоторого года должны быть связаны с наблюдениями за тот же месяц предыдущего года. Пусть -е наблюдение относится к апрелю. Тогда мы можем связать это наблюдение с наблюдением в предыдущем апреле моделью вида

, (9.1.4)

где и - полиномы степеней и соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости. Подобным образом модель

(9.1.5)

может быть использована для связи наблюдений за март этого и предшествующего года и т. д. для любого из 12 мес. Кроме того, обычно оказывается разумным предположение, что параметры и , содержащиеся в этих ежемесячных моделях, примерно одинаковы для всех месяцев.

Ошибки этих моделей не обязательно должны быть некоррелированы. Например, количество авиапассажиров в апреле 1960 г., будучи связанным с количеством пассажиров в апреле предыдущего года, связано также с количеством пассажиров в марте, феврале, январе 1960 г. и т. д. Поэтому можно ожидать, что в (9.1.4) связано с в (9.1.5), с и т. д. Следовательно, чтобы учесть эти связи, мы вводим вторую модель

, (9.1.6)

где - белый шум, а и - полиномы степеней и соответственно, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости; .

Подставляя (9.1.6) в (9.1.4), получаем окончательную общую мультипликативную модель

, (9.1.7)

где в этом частном примере . Индексы в (9.1.7) были введены, чтобы напомнить читателю о порядках различных операторов. Говорят, что результирующий мультипликативный процесс имеет порядок . Аналогичные рассуждения можно использовать для получения моделей с тремя и более периодическими компонентами, учитывающими многообразие сезонных явлений.