9.2.2. Прогнозирование

В гл. 4 мы видели, что имеются три разных способа рассмотрения общей модели, каждый из которых привел в гл. 5 к различным взглядам на прогноз. Мы рассмотрим теперь, как эти три подхода можно применить к прогнозированию с помощью модели сезонного ряда (9.2.1).

Способ разностного уравнения. Прогнозы удобнее всего вычислять прямо из самого разностного уравнения.

Поскольку

, (9.2.3)

после подстановки немедленно получаем прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой на момент с упреждением :

. (9.2.4)

Как и в гл. 5, мы называем

условным математическим ожиданием в момент . В этом выражении параметры считаются известными точно, и ряд предполагается известным достаточно далеко в прошлое.

Практическое применение зависит от ряда фактов:

а) обратимые модели после подгонок к реальным рядам дают прогнозы, существенно зависящие только от сравнительно недавних значений ряда;

б) прогнозы нечувствительны к малым изменениям значений параметров, вносимым, например, ошибками оценивания.

Имеем

, (9.2.5)

. (9.2.6)

Отсюда, чтобы получать прогнозы, как в гл. 5, мы просто заменяем неизвестные прогнозами, а неизвестные — нулями. Известные — это, конечно, уже вычисленные ошибки прогноза на шаг вперед, т. е.

Например, для получения прогноза на три месяца вперед имеем.

Беря условные математические ожидания в момент , получаем

т. е.

Следовательно,

. (9.2.7)

Здесь прогноз выражается через предыдущие и предыдущие прогнозы . Хотя нетрудно записать отдельные выражения для любого упреждения, вычисления прогнозов лучше вести, непосредственно используя единственное выражение (9.2.4), элементы в правой части которого определены в (9.2.5) и (9.2.6).

На рис. 9.2 показаны прогнозы для упреждений до 36 месяцев, сделанные на один и тот же произвольный момент — июль 1957 г. Видно, что простая модель, содержащая только два параметра, хорошо воспроизводит сезонные особенности и дает превосходные прогнозы. Следует помнить, конечно, что, как и все предсказания, получаемые из общей линейной стохастической модели, прогнозирующая функция подстраивается к данным. Когда происходят изменения в сезонных явлениях, они соответствующим образом отражаются в прогнозе. Нужно заметить, что если прогноз на месяц вперед дает завышенное значение, у всех более отдаленных прогнозов на тот же момент времени существует тенденция к завышению. Этого следовало ожидать, потому что, как указано в приложении П5.1, ошибки прогноза на один и тот же момент времени с различными упреждениями сильно коррелированы. Конечно, прогноз далеко вперед, скажем на 36 мес, неизбежно может содержать значительную ошибку. Однако на практике первоначально отдаленный прогноз будет непрерывно корректироваться, и по мере уменьшения упреждения будет достигаться все большая точность.

Описанная процедура прогнозирования устойчива к умеренным изменениям значений параметров. Так, если мы используем вместо и значения и , прогнозы не сильно изменятся. Это верно даже для прогнозов на несколько шагов вперед, например на 12 мес.

Рисунок 9 2 Ряд с прогнозами на месяцев вперед, сделанными в один и тот же произвольный момент, июль 1957 г. По оси ординат — натуральные логарифмы суммарного числа пассажиров за месяц (в тысячах).

Прогнозирующая функция, ее коррекция и дисперсия ошибки прогноза. Как говорилось в гл. 5, способ разностного уравнения наиболее прост и удобен для фактического вычисления и коррекции прогнозов. Однако само разностное уравнение не объясняет в достаточной степени природу вычисляемых с его помощью прогнозов и характер коррекции. Чтобы оценить эти аспекты (а не предложить еще одну вычислительную процедуру), рассмотрим теперь прогнозирование с других точек зрения.

Прогнозирующая функция. Используя (5.1.12), получаем

, (9.2.8)

где

Оператор скользящего среднего в правой части (9.2.1) имеет порядок 13. Отсюда, согласно (5.3.2), для прогнозы удовлетворяют разностному уравнению

, (9.2.9)

где действует на .

Пусть теперь и - учреждение в лет и месяцев, так что, например, . Тогда прогнозирующая функция, являющаяся решением (9.2.9) с начальными условиями, определяемыми первыми 13 прогнозами, имеет вид

. (9.2.10)

Рисунок. 9.3. Сезонная прогнозирующая функция, полученная по модели , при .

Эта прогнозирующая функция содержит 13 регулируемых коэффициентов . Они представляют эффект 12 мес. и один годовой эффект и определяются первыми 13 прогнозами. Природу этой функции лучше понять из рис. 9.3, на котором показана прогнозирующая функция этого типа, но с периодом , так что имеется 6 регулируемых коэффициентов .

Веса . Чтобы определить формулы коррекции и получить дисперсию ошибки прогноза , нам нужны веса в выражении для модели вида . Оператор скользящего среднего в (9.2.1) можно записать

где .

Тогда модель (9.2.1) можно представить как

Суммируя, получим

где . Таким образом, веса этого процесса равны

и т. д. Представив как , где и относятся соответственно к годам и месяцам, получаем

, (9.2.11)

где

Коррекция. Общая формула для коррекции (5.2.5) имеет вид

Тогда, если , то

и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

(9.2.12)

В случае же если , то

и в этом случае

(9.2.13)

При анализе этих соотношений следует помнить, что — откорректированное . Поэтому, если момент , в который делается прогноз, был январь какого-либо года, тогда - это коэффициенты для марта. После того, как прошел месяц, нужно передвинуть момент прогноза на февраль, и откорректированный вариант коэффициента для марта теперь будет .

Дисперсия ошибок прогноза. Зная веса , мы можем вычислить дисперсию ошибок прогноза для любого упреждения . Воспользуемся для этого результатом (5.1.16), а именно

. (9.2.14)

Принимая в (9.2.11) и (9.2.14), находим выборочные стандартные отклонения логарифмических ошибок прогноза для данных об авиаперевозках; результаты для от 1 до 36 приведены в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Выборочные стандартные отклонения ошибок прогноза с различным упреждением для логарифмов ряда авиаперевозок

Упреждения

3,7

4,3

4,8

5,3

5,8

6,2

6,6

6,9

7,2

7,6

8,0

8,2

Упреждения

9,0

9,5

10,0

10,5

10,9

11,4

11,7

12,1

12,6

13,0

13,3

13,6

Упреждения

14,4

15,0

15,5

16,0

16,4

17,0

17,4

17,8

18,3

18,7

19,2

19,6

Прогнозы как взвешенные средние предыдущих наблюдений. Если представить модель в виде

прогноз на шаг вперед будет

Веса можно получить, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в уравнении

Отсюда

(9.2.15)

На рис. 9.4 показаны эти веса для значений параметров и . Почему весовая функция имеет такой вид, как на рис. 9.4, можно понять из следующего.

Рисунок 9.4. Веса для процесса , подогнанного к ряду .

Процесс (9.2.1) можно описать как

. (9.2.16)

Используем теперь символ для обозначения экспоненциально взвешенного скользящего среднего с параметром от значений , так что

Аналогично пусть символ обозначает экспоненциально взвешенное среднее с параметром от значений , так что

Подставляя в (9.2.16) , получаем

. (9.2.17)

Таким образом, прогноз — это , взятое по предыдущим месяцам, измененное вторым от расхождений между такими ежемесячными и фактически наблюденными в предыдущие годы.

Например, пусть мы пытались предсказать сбыт универсального магазина в декабре. Большая доля распродажи приходится на рождественские подарки. Первый член в правой части (9.2.17) будет за предыдущие месяцы по ноябрь включительно. Однако мы знаем, что эта величина существенно ниже реальной, и мы поправили ее, прибавив к ней второе за предыдущие годы, взятое по расхождениям между фактической распродажей в декабре и соответствующими ежемесячными , взятыми по предыдущим месяцам в эти годы.

Прогнозы для упреждений можно генерировать непосредственно по весам , подставляя прогнозы для меньших упреждений вместо неизвестных величин. Так,

Можно поступить и иначе — вычислить явные значения весов придаваемых непосредственно по формуле (5.3.9) или (П5.2.3).