9.2.4. Оценивание

На рис. 9.5 показаны изолинии суммы квадратов для данных об авиаперевозках, к которым подгонялась модель (9.2.1); там же показана соответствующая 95% - ная доверительная область.

Рисунок 9.5. Подгонка модели к ряду : изолинии ; заштрихована 95%-ная доверительная область.

Оценки наименьших квадратов очень близки к и . Значения в узлах сетки были вычислены по методике, описанной в гл. 7. Там было показано, что если дано наблюдений линейного процесса, описываемого формулой

или эквивалентной формулой

квадратичная форма , стоящая в показателе функции правдоподобия, всегда может быть выражена как сумма квадратов условных математических ожиданий или , т. е.

где

Далее там было показано, что играет главную роль в оценивании параметров как в теории выборочных распределений, так и в методе правдоподобия или в байесовском подходе.

Вычисления для моделей сезонных рядов осуществляются точно так же, как описано в разд. 7.1.5 для несезонных моделей. Мы покажем, как проводятся вычисления оценок для данных об авиаперевозках по модели

Схема вычислений показана в табл. 9.5. Если имеется наблюдений , то в общем случае с разностным оператором можно вычислить значений . Поэтому удобно использовать такие обозначения, чтобы первое наблюдение в ряду имело индекс . Первое наблюдение в ряду будет тогда иметь индекс 1, а последнее . В ряду данных об авиаперевозках имеется наблюдений. В соответствии с этим в табл. 9.5 они обозначены как . Величины , полученные взятием разностей, образуют ряд , где . Эти значения приведены в центре таблицы.

Таблица 9.5. Данные по авиаперевозкам. Вычислительная таблица для и, следовательно, для

Фундаментальные рекуррентные формулы для расчета в прямом и обратном направлениях можно получить, перейдя к условным математическим ожиданиям в соответствующих представлениях модели. В этом примере получаем

, (9.2.20)

. (9.2.21)

В общем случае модель сезонных рядов может включать стационарный оператор авторегрессии степени . Если мы хотим, чтобы расчет в обратном направлении, описанный в разд. 7.1.5, уходил в прошлое как можно дальше, нужно начинать рекурсию с вычисления приближенного значения , получаемого приравниванием всех неизвестных нулю. В данном примере , и отсюда, пользуясь (9.2.20), можно начинать с

и т. д. до получения . Поскольку при , мы можем использовать (9.2.20) для вычисления прогнозов назад: . Далее, все значения для равны нулю, и, поскольку каждое — это функция ранее наблюдавшихся , отсюда следует (это вытекает и непосредственно из представления модели), что при . Поэтому (9.2.21) теперь может быть использовано непосредственно для вычисления и, следовательно, для вычисления . Почти во всех интересных случаях переходные процессы, введенные аппроксимацией в начале обратной рекурсии, будут пренебрежимо слабо влиять на вычисление предыдущих . Поэтому вычисленное этим способом будет весьма точным. Однако, как указывалось в разд. 7.1.5, можно еще больше повысить точность, повторив итерации «вперед и назад». Следующая итерация включает повторное вычисление и начинается с использования прогнозов , полученных по уже вычисленным .

Итеративное вычисление оценок наименьших квадратов . Как уже обсуждалось в разд. 7.2, в каждой новой ситуации или при появлении каких-либо трудностей полезно рисовать изолинии сумм квадратов, но в простых случаях можно прямо воспользоваться методикой итеративной линеаризации для получения оценок наименьших квадратов и их приближенных стандартных ошибок. Процедура вычислений была описана в разд. 7.2.1, и при оценке параметров сезонных моделей не возникает новых трудностей.

В настоящем примере можно приближенно записать

где

и где и — предполагаемые значения, а . Как было показано в разд. 7.2.2, производные легче всего рассчитывать численно. Действуя таким образом и пользуясь в качестве начальных значений предварительными оценками , полученными в разд. 9.2.3 по выборочным автокорреляциям, продолжаем итерации (см. табл. 9.6).

Таблица 9.6. Итеративное оценивание и по логарифмированным данным авиаперевозок

Итерация

Начальные значения

0,390

0,404

0,395

0,396

0,480

0,640

0,612

0,614

В результате трех итераций можно получить значения параметров с точностью до двух знаков после запятой, удовлетворяющей все практические требования. Выборочная дисперсия остаточных ошибок равна . Матрица, обратная матрице сумм квадратов и произведений , полученная на последней итерации, используется для вычисления стандартных ошибок оценок. Оценки наименьших квадратов и соответствующие стандартные ошибки равны

что хорошо согласуется со значениями, полученными на рис. 9.5.

Процедура оценивания может быть кратко описана следующим образом. Имея достаточно хорошие оценки параметров, полученные по автокорреляциям, можно, как и ранее, вычислить прогнозы назад. Полученные начальные значения используются на всех итерациях, пока процесс не сойдется. В этот момент еще одна итерация, использующая подправленные значения прогнозов назад, обычно обеспечивает окончательную сходимость. Однако, располагая быстродействующей ЭВМ, вряд ли целесообразно пользоваться такими ухищрениями. Действуя другим способом (как в разд. 7.2.3.), путем рекуррентного счета можно получить производные с любой желаемой точностью.

Дисперсии и ковариации оценок, сделанных по большим выборкам. Как и в разд. 7.2.6, можно получить формулы для дисперсий и ковариации оценок параметров по большим выборкам. В этом случае

Отсюда для больших выборок информационная матрица имеет вид

Если не близко к единице, элементы, не лежащие на диагонали, малы, и приближенные значения дисперсий и ковариации и равны

(9.2.22)

В данном примере, подставляя в (9.2.22) значения и , получаем величины

которые при данной точности совпадают со значениями, полученными непосредственно при итерациях. Интересно отметить также, что оценки параметров и , связанных соответственно с месяцами и годами, практически не коррелированы.