9.3.4. Эвентуальные прогнозирующие функции для различных моделей сезонных рядов

Рассмотрим теперь характеристики эвентуальных прогнозирующих функций для моделей сезонных рядов. Для модели сезонного ряда с одной периодичностью  эвентуальная прогнозирующая функция на момент  с упреждением  — это решение разностного уравнения

.

В табл. 9.9 приведено это решение для различных разностных уравнений и указано также число начальных значений, от которых зависит прогнозирующая функция.

На рис. 9.7 показано поведение каждой прогнозирующей функции для . Удобно рассматривать время упреждения  как относящееся к прогнозу на  лет и  кварталов вперед. На рис. 9.7 необходимое число начальных значений (требуемых для начала прогноза), показанных крупными точками, было выбрано произвольно, и ход прогнозирующей функции был прослежен до конца четвертого периода. В случаях, когда разностное уравнение включало параметр авторегрессии, его значение было принято равным 0,5.

Константы  и др., появляющиеся в табл. 9.9, строго говоря, должны обозначаться как  и т. д., так как каждая из них зависит от момента  прогноза и перестраивается при каждом изменении . Индекс  был временно опущен для упрощения записи. Оператор под номером (1) стационарен и содержит среднее значение . Он является оператором авторегрессии по отношению к сезонной компоненте, затухающей с каждым периодом и приближающейся к среднему значению.

Оператор (2) нестационарен по отношению к сезонной компоненте. Прогнозы для конкретного квартала разных лет связаны полиномиальной зависимостью нулевой степени. Поэтому исходный  прогноз сезонной компоненты точно повторяется в прогнозах на будущие годы.

Оператор (3) нестационарен по отношению к опорному интервалу, но стационарен по отношению к сезонной компоненте. На рис. 9.7 (3) показан общий уровень прогноза, асимптотически переходящий в новый уровень , где в то же время накладывающаяся предсказуемая предсказуемая компонента сезонного эффекта экспоненциально затухает.

Рисунок 9.7. Поведение сезонной прогнозирующей функции при различных видах общего сезонного оператора авторегрессии.

Оператор (4) - это предельный случай оператора (3) при стремлении  к 1. Оператор нестационарен как по отношению к опорному интервалу, так и к периодической компоненте. Исходный начальный прогноз воспроизводится в последующие годы, в то время как годовой уровень возрастает. Этот вид прогнозирующей функции дает модель мультипликативного процесса , подогнанная к данным по авиаперевозкам.

Таблица 9.9 . Эвентуальные прогнозирующие функции для различных операторов авторегрессии. Все коэффициенты  настраиваемые в зависят от момента прогноза

Оператор авторегрессии	Эвентуальная прогнозирующая функция & (г. т)	Число начальных значений, от которых зависит прогнозирующая функция
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

Оператор (5) нестационарен по отношению к сезонной компоненте, но стационарен по опорному интервалу. Ход прогноза экспоненциально приближается к асимптотическому ходу прогноза по опорному интервалу

.

Оператор (6) нестационарен по отношению к опорному интервалу и сезонной компоненте. С годами заметен общий квадратичный тренд, а сезонный ход испытывает мелкие изменения. Отдельные кварталы имеют не только свой собственный уровень , но и собственную скорость изменения уровня . Поэтому в случаях, когда этот вид прогнозирующей функции удобен, могут возникать интересные ситуации. Например, при увеличении упреждения может одновременно предсказываться величина разницы в сбыте товаров летом и зимой от года к году и уменьшение разницы сбыта товаров осенью и летом

Оператор (7) опять-таки нестационарен как по опорному интервалу, так и по сезонной компоненте, и здесь опять имеется квадратичный тренд при переходе от года к году плюс линейные изменения прогнозов при переходе от квартала к кварталу. Однако в этом случае квартальные приращения имеют постоянную скорость изменения.