Программа 4. Прогнозирование с помощью стохастической модели

4.1. Общее описание

Программа вводит оценки наименьших квадратов параметров общей модели, подогнанной при помощи программы 2, вместе со значениями временного ряда.

Программа вычисляет:

1) прогнозирующую функцию , для каждого момента времени, отстоящего на временных единиц от конца ряда. Прогнозы вычисляются вначале для преобразованного временного ряда а затем переводятся в прогнозы для исходного ряда ;

2) верхний и нижний вероятностные пределы и вероятность для некоторого будущего значения находиться между этими пределами равна заданной величине .

4.2. Входные параметры

Минимальная информация, необходимая для выполнения расчетов, включает следующие величины:

- определены в программе 1

- определены в программе 2

- управляющий параметр для постоянной составляющей

- максимальное упреждение прогнозирующей функции ,

- оценки наименьших квадратов постоянной составляющей ,

- оценки наименьших квадратов несезонных параметров авторегрессии ,

- оценки наименьших квадратов сезонных параметров авторегрессии ,

- оценки наименьших квадратов несезонных параметров скользящего среднего ,

- оценки наименьших квадратов сезонных параметров скользящего среднего ,

- оценка наименьших квадратов остаточной дисперсии

4.3. Вычисления

Разъединение операторов. Для целей прогноза сезонная модель представляется в виде

где неизвестные параметры заменены их оценками. Для получения сначала находятся параметры оператора

где .

Для этого используется формула

двойная сумма находится суммированием по всем и всем . Константы и принимаются равными . Далее, параметры оператора

с получаются в результате следующей трехступенчатой процедуры:

2) Этап 1 повторяется раз с заменой на , на на каждой итерации для получения коэффициентов .

3) Аналогично применяем раз этап 1 с к значениям, полученным на этапе 2, для нахождения окончательных оценок коэффициентов .

Операторы скользящего среднего находятся таким же способом, как и , по формуле

где ,

Генерирование прогнозов. 1) Для трансформированного ряда прогнозы вычисляются по формуле

где

и определены в программе 1. Прогнозы находятся для каждого отодвигаемого назад момента времени

2) Прогнозы для исходного ряда находятся по формуле

Точность прогнозов. 1) Для прогнозов преобразованного ряда верхний и нижний вероятностные пределы равны

где или 2,58 в зависимости от того, лежит ли будущее значение между этими пределами с вероятностью в интервале соответственно. Функция дисперсии равна

где

для и

2) Для прогнозов исходного ряда верхний и нижний пределы равны

4.4. Выход

Выходная информация должна содержать все входные данные, а также

- параметры обобщенного оператора авторегрессии

- параметры обобщенного оператора скользящего среднего

- веса ,

- прогнозы и их вероятностные пределы для данного вероятностного уровня , для , и выбранных начальных моментов, заданных значениями .

4.5. Дополнения

Для целей большей общности полезно ввести управляющие параметры, определяющие режим работы программы. Практически удобно получать прогнозы в виде матрицы, в которой каждый элемент какого-либо столбца соответствует прогнозируемому значению .