Алгоритм марквардта для нелинейного метода наименьших квадратов

1. Задаваемые параметры

 

Обозначим через  все параметры модели, т. е. ; необходимо задать начальные значения , а также параметры  и , ограничивающие поиск, и параметр сходимости . Во время поиска необходимо оценивать значения и производные

на каждом шаге итерации.

 

2. Вычисление производных

 

Производные находятся по остаточным ошибкам, вычисленным в соответствии с разд. 3.3 программы 3, согласно формуле

.

 

3. Итерация

 

Этап 1. По известным , найденным для текущих значений параметров, находятся следующие величины:

1) матрица размером

,

где

;

2) вектор  с элементами , где

;

3) нормирующие величины

.

Этап 2. Модифицированные (введением нормирующих множителей и наложением ограничений) линеаризованные уравнения

конструируются согласно формулам

Уравнения решаются относительно ; этот вектор денормируется для получения поправок параметров

.

Вычисляются новые значения параметров

,

и оценивается сумма квадратов остаточных ошибок .

Этап 3. 1) Если , исследуются поправки параметров . Если они все меньше , достигнута сходимость, и матрица  размером  используется для вычисления ковариационной матрицы оценок согласно программе 3. В противном случае  принимает значение , уменьшается в  раз и продолжаются вычисления на этапе 1.

2) Если , ограничивающий параметр  увеличивается в  раз и вычисления продолжаются в соответствии с этапом 2. Почти во всех случаях удается найти наименьшую сумму квадратов. Однако  имеет верхнее граничное значение, и если оно превышено, поиск прекращается. Когда поиск закончился успешно, либо в соответствии с критерием 1 этапа 3, либо (предположительно) после заданного числа итераций, по программе 3 вычисляются остаточная дисперсия и ковариационная матрица оценок.