Программа 3. Оценивание стохастической модели

3.1. Общее описание

Программа вводит начальные оценки параметров. Они могут быть получены при помощи программы 2 для несезонных моделей и по методике, описанной в гл. 9, для сезонных моделей. Программа вычисляет

1) оценки наименьших квадратов и в сезонной модели

где , — преобразованный временной ряд, определенный в программе 1, — среднее значение ряда ,

2) стандартные ошибки оценок и оценку корреляционной матрицы ошибок;

3) автокорреляционную функцию остаточных ошибок, соответствующих оценкам наименьших квадратов, и связанную с ними -статистику.

3.2. Входные параметры

Минимальная информация, необходимая для расчетов, включает

- определены в программе 1,

- определены в программе 2,

- число сезонных параметров авторегрессии

- число сезонных параметров скользящего среднего ,

- управляющий параметр для среднего значения

- начальную оценку

- начальные оценки несезонных параметров авторегрессии ,

- начальные оценки сезонных параметров авторегрессии

- начальные оценки несезонных параметров скользящего среднего

- начальные оценки сезонных параметров скользящего среднего

- максимально допустимое число итераций

3.3. Вычисления

Вычисление суммы квадратов остаточных ошибок. 1) При наличии начальных , «спрогнозированных назад», вычисление остаточных ошибок для заданного набора параметров проводится в два этапа:

где мы воспользовались сокращенным обозначением , присутствует, только если , , — отрицательное значение момента времени ; для времен меньше значения прогнозируемых назад величин пренебрежимо малы.

2) Для того чтобы начать рекуррентные вычисления в прямом направлении в (1), используется процедура из программы 4 для прогнозирования назад значений до таких значений времени, при которых пренебрежимо мало.

3) Для данных значений параметров сумма квадратов остаточных ошибок вычисляется как

Вычисление оценок наименьших квадратов. Значения параметров, минимизирующих сумму квадратов остаточных ошибок, получены методом оптимизации с ограничениями, предложенным Марквардтом [63]. Этот метод описан в конце программы. Входной параметр определяет максимально допустимое число итераций.

Стандартные ошибки и корреляционная матрица. Оценка остаточной дисперсии получается из оценки суммы квадратов на последней итерации по формуле

ковариационная матрица оценок находится по формуле

где — регрессионная матрица в линеаризованной модели, вычисленная на последней итерации в процедуре Марквардта.

Стандартные ошибки равны

а элементы корреляционной матрицы вычисляются как

Наконец, оценка общей константы равна

где

Диагностические проверки. Остаточные автокорреляции вычисляются по остаточным ошибкам , соответствующим оценкам наименьших квадратов, согласно формуле

где

Наконец, статистика вычисляется как

и сравнивается с -распределением с

степенями свободы.

3.4. Выход

Выходная информация должна включать все входные данные и

на каждой итерации, а также следующую информацию на последней итерации (т.е. когда процедура привела к сходящемуся результату, или поиск оказался неудачным, или число выполненных итераций достигло заданного максимального числа , а сходимость не достигнута):

- остаточные ошибки, соответствующие оценкам наименьших квадратов

- оценку остаточной дисперсии (белого шума)

- ковариационную матрицу оценок

- корреляционную матрицу оценок

- оценку общей константы ,

- остаточные автокорреляции

- -статистику

3.5. Дополнения

Для достижения большей общности следует ввести управляющие параметры, определяющие режим работы программы. Можно включить в программу табулирование в окрестности минимума путем расчета этой функции по сетке с центром, соответствующим оценкам наименьших квадратов.