2.1.6. Стандартные ошибки оценок автокорреляций

Для идентификации модели временного ряда методами, которые будут описаны в гл. 6, необходимо иметь грубый способ проверки того, является ли  практически нулем для задержек больше некоторой. Для этой цели можно использовать следующее выражение для дисперсии выборочного коэффициента автокорреляции стационарного нормального процесса, предложенное Бартлеттом [28]:

.        (2.1.11)

Например, если  с  т. е. автокорреляционная функция затухает экспоненциально, (2.1.11) дает

,                                                     (2.1.12)

и в частности

.

Для любого процесса, у которого все автокорреляции  равны нулю при  , все члены, кроме первого, появляющиеся в правой части (2.1.11), равны нулю при . Отсюда для дисперсии выборочных автокорреляций  с задержками , большими, чем некоторое значение , за которым теоретическую автокорреляционную функцию можно полагать «затухшей», аппроксимация Бартлетта дает

, .                                                         (2.1.13)

Например, если  увеличивается и при условии, что  не близко к 1, (2.1.12) быстро сходится к своему предельному значению

,

так же определяемому (2.1.13).

Чтобы практически использовать (2.1.13), нужно вместо теоретических автокорреляций  подставлять выборочные автокорреляции ; когда это сделано, квадратный корень из (2.1.13) мы будем называть стандартной ошибкой при больших задержках. В предположении, что теоретические автокорреляции  практически равны нулю при задержках, больших некоторой гипотетической задержки , эта стандартная ошибка аппроксимирует стандартное отклонение  для больших задержек .

Подобные приближенные выражения для ковариации между выборочными корреляциями  и  при двух различных задержках  и  были даны Бартлером [28]. В частности, аппроксимация для больших задержек сводится к

.                                                              (2.1.14)

Результат Бартлетта (2.1.14) указывает, что индивидуальные автокорреляции должны интерпретироваться с осторожностью, поскольку между соседними значениями может иметь место значительная ковариация. Этот эффект в некоторых случаях может сказать вид выборочной автокорреляционной функции, которая вопреки ожиданию может не затухать [27,29].

Пример. Следующие выборочные автокорреляции были получены из временного ряда длинной  наблюдений, порождаемых стохастическим процессом, о котором было известно, что  и  для :

В предположении, что ряд полностью случайный, имеем . Тогда для всех задержек (2.1.13) дает

.

Соответствующая стандартная ошибка равна . Так как значение  в  5 раз превосходит по модулю стандартную ошибку, можно заключить, что  не равно нулю. Далее выборочные автокорреляции для задержек, больших 1, малы; следовательно, разумен вопрос, соответствует ли ряд принятой гипотезе (ее соответствие явления мы обсудим позднее), что  не равно нулю, а . Используя (2.1.13) с  и подставляя  вместо , находим, что при такой гипотезе выборочная дисперсия для больших задержек равна

что дает стандартную ошибку 0,08. Поскольку выборочные автокорреляции для задержек, больших чем 1, малы по сравнению с этой стандартной ошибкой, нет причин сомневаться в адекватности модели .