2.1.5. Оценивание автоковариационной и автокорреляционной функций

До сих пор мы рассматривали только теоретическую автокорреляционную функцию, которая описывает математически определенный стохастический процесс. На практике мы имеем конечный временной ряд  из  наблюдений, по которому мы сможем найти только выборочные оценки автокорреляций.

В статистике имеется несколько оценок автокорреляционной функции, их свойства в деталях рассмотрены в [27]. Там сделан вывод, что наиболее удовлетворительной оценкой автокорреляции  при задержке  является

,                                (2.1.9)

где

,

                                   (2.1.10)

- выборочная оценка автоковариации , а - среднее значение временного ряда. Мы проиллюстрируем (2.1.10), вычислив  по первым 10 значениям химического процесса на рис. 2.1, приведенным в табл. 2.1. Среднее значение первых десяти значений таблицы равно 51, и отклонения от среднего равны – 4, 13, -28, 20, -13, 13, 4, -10, 8, -3.

Рис. 2.6. Автокорреляционная функция с рис. 2.5 для неотрицательных задержек.

Таблица 2.1. Ряд из 70 последовательных выходов партий продукта химического процесса. Это ряд имеется также под названием «ряд F» в сборнике временных рядов в конце данного выпуска.

1-15	16-30	31-45	46-60	61-70
47	44	50	62	68
64	80	71	44	38
23	55	56	64	50
71	37	74	43	60
38	74	50	52	39
64	51	58	38	59
55	57	45	59	40
41	50	54	55	57
69	60	36	41	54
48	45	54	53	23
71	57	48	49
35	50	55	34
57	45	45	35
40	25	57	54
58	59	50	45

Тогда

.

.

Аналогично находим, что . Отсюда

,

так как для практических целей достаточно округлять автокорреляцию до двух знаков после запятой. Вычисления, приведенный выше, чисто иллюстративны. На практике для получения полезной оценки автокорреляционной функции нам нужно по меньшей мере 50 наблюдений, и выборочные автокорреляции  должны быть вычислены для , где  не больше чем примерно .

Рис. 2.7. Выборочная автокорреляционная функция данных о партиях продукта.

Первые 15 значений , полученные по всей серии из 70 наблюдений, приведены в табл. 2.2 и показаны на рис. 2.7. Выборочная автокорреляционная функция характеризуется знакопеременной корреляцией с тенденцией к затуханию по мере роста задержки. Такие автокорреляционные функции встречаются в данных о выпуске продукции и являются следствием эффектов «переноса». В этом примере высокий выход цикла приводил к получению дегтярных остатков, которые не полностью устранялись из емкости и отрицательно влияли на выход следующего цикла.

Таблица 2.2. Выборочная автокорреляционная функция данных о партиях продукта

1	-0,39	6	-0,05	11	0,11
2	0,3	7	0,04	12	-0,07
3	-0,17	8	-0,04	13	0,15
4	0,07	9	-0,01	14	0,04
5	-0,1	10	0,01	15	-0,01

Программа для ЭВМ, позволяющая вычислить автоковариационную и автокорреляционную функции, описана под номером 1 в сборнике программ в конце книги.