2.2.2. Дисперсионный анализ

Из таблицы дисперсионного анализа, относящейся к линейной регрессии (2.2.1) для нечетного , устранив среднее значение, мы можем выделить  пар степеней свободы. Они связаны с парами коэффициентов  и, следовательно, с частотами . Очевидно, что значение периодограммы  есть просто «сумма квадратов» пар коэффициентов , а следовательно, связано с частотой . Таким образом,

 .                                 (2.2.6)

Когда четно, существует  пар степеней свободы и еще одна одиночная степень свободы, связанная с коэффициентом .

Если ряд действительно случаен и не содержит регулярной синусоидальной компоненты, т.е

где -фиксированное среднее значение, а - независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией , то каждая компонента имеет математическое ожидание  и будет распределена как  независимо от всех других компонент. Напротив, если ряд содержит регулярную случайную компоненту с частотой , амплитудой  и фазой , так что

где  и , то сумма квадратов  будет иметь тенденцию к увеличению, так как ее математическое ожидание равно .

Практически мало вероятно, чтобы частота  неизвестной регулярной синусоидальной компоненты точно совпадала с какой-либо из частот ,  для которых могут быть вычислены интенсивности. В этом случае на периодограмме будет наблюдаться увеличение интенсивности в непосредственной близости от   .

Пример. При совпадении периодограммы обычно используются большое число наблюдений. Однако для иллюстрации процедуры построения мы воспользуемся набором из 12 среднемесячных температур для центральной Англии в 1964 г., приведенным в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Среднемесячные температуры в центральной Англии в 1964 г.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3,4	4,5	4,3	8,7	13,3	13,8	16,1	15,5	14,1	8,9	7,4	3,6
	0,87	0,57	0	-0,5	-0,87	-1	-0,87	-0,5	0	0,5	0,87	1

Третья строчка табл. 2.3 содержит значения , необходимые для вычисления  по формуле

.

Значения даны в табл. 2.4; им соответствует таблица 2.5 дисперсионного анализа. Как и ожидалось, главная компонента этих температур данных имеет 12-месячный период с частотой 1/12 цикла в месяц.

Таблица 2.4. Амплитуды синусоидальных и косинусоидальных компонент для температурных данных

1	-5,3	-3,82
2	0,05	0,17
3	0,1	0,5
4	0,52	-0,52
5	0,09	-0,58
6	-0,3	-

Таблица 2.5. Таблица дисперсионного анализа температурного ряда

	Частота	Период	Периодограмма	Число степеней свободы	Среднеквадратичное
1	1/12	12	254,96	2	127,48
2	1/6	6	0,19	2	0,1
3	1/4	4	1,56	2	0,78
4	1/3	3	3,22	2	1,61
5	1/12	12/5	2,09	2	1,05
6	1/2	2	1,08	1	1,08
Всего 263,10				11	23,92