Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


2.2.2. Дисперсионный анализ

Из таблицы дисперсионного анализа, относящейся к линейной регрессии (2.2.1) для нечетного , устранив среднее значение, мы можем выделить  пар степеней свободы. Они связаны с парами коэффициентов  и, следовательно, с частотами . Очевидно, что значение периодограммы  есть просто «сумма квадратов» пар коэффициентов , а следовательно, связано с частотой . Таким образом,

 .                                 (2.2.6)

Когда четно, существует  пар степеней свободы и еще одна одиночная степень свободы, связанная с коэффициентом .

Если ряд действительно случаен и не содержит регулярной синусоидальной компоненты, т.е

где -фиксированное среднее значение, а - независимые, нормально распределенные случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией , то каждая компонента имеет математическое ожидание  и будет распределена как  независимо от всех других компонент. Напротив, если ряд содержит регулярную случайную компоненту с частотой , амплитудой  и фазой , так что

где  и , то сумма квадратов  будет иметь тенденцию к увеличению, так как ее математическое ожидание равно .

Практически мало вероятно, чтобы частота  неизвестной регулярной синусоидальной компоненты точно совпадала с какой-либо из частот ,  для которых могут быть вычислены интенсивности. В этом случае на периодограмме будет наблюдаться увеличение интенсивности в непосредственной близости от   .

Пример. При совпадении периодограммы обычно используются большое число наблюдений. Однако для иллюстрации процедуры построения мы воспользуемся набором из 12 среднемесячных температур для центральной Англии в 1964 г., приведенным в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Среднемесячные температуры в центральной Англии в 1964 г.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3,4

4,5

4,3

8,7

13,3

13,8

16,1

15,5

14,1

8,9

7,4

3,6

0,87

0,57

0

-0,5

-0,87

-1

-0,87

-0,5

0

0,5

0,87

1

Третья строчка табл. 2.3 содержит значения , необходимые для вычисления  по формуле

.

Значения даны в табл. 2.4; им соответствует таблица 2.5 дисперсионного анализа. Как и ожидалось, главная компонента этих температур данных имеет 12-месячный период с частотой 1/12 цикла в месяц.

Таблица 2.4. Амплитуды синусоидальных и косинусоидальных компонент для температурных данных

1

-5,3

-3,82

2

0,05

0,17

3

0,1

0,5

4

0,52

-0,52

5

0,09

-0,58

6

-0,3

-

Таблица 2.5. Таблица дисперсионного анализа температурного ряда

Частота

Период

Периодограмма

Число степеней свободы

Среднеквадратичное

1

1/12

12

254,96

2

127,48

2

1/6

6

0,19

2

0,1

3

1/4

4

1,56

2

0,78

4

1/3

3

3,22

2

1,61

5

1/12

12/5

2,09

2

1,05

6

1/2

2

1,08

1

1,08

Всего 263,10

11

23,92

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>