2.2.3. Спектральная плотность и нормированный спектр

Для полноты мы кратко обсудим ниже понятия спектра и спектральной плотности. Применение этих важных понятий более подробно описано в [27]. Мы не используем их для анализа временных рядов в этой книге, поэтому при первом чтении этот раздел можно опустить.

Выборочный спектр. При определении периодограммы (2.2.5) предполагается, что частоты  являются гармониками основной частоты . Вводя спектр, мы ослабляем это предположение и позволяем частоте  изменяется непрерывно в диапазоне 0-0,5 Гц. Определение периодограммы может быть изменено следующим образом:

 ,       ,                                    (2.2.7)

где  называется выборочным спектром [27]. Подобно периодограмме, он может быть использован для обнаружения и оценки амплитуд синусоидальной компоненты неизвестной частоты , скрытой в шуме, и действительно это даже удобнее, если только не известно, что частота   связана гармонически с длинной ряда, т. е. . Более того, он является отправным пунктом для теории спектрального анализа, использующей важное соотношение, приведенное в приложении П2.1. Это соотношение устанавливает связь выборочного анализа спектра  и оценок  автоковариационной функции:

 .                                (2.2.8)

Таким образом, выборочный спектр - это косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Спектр. Периодограмма и выборочный спектр – удобные понятия анализа временных рядов, образованных смесью синусоид косинусоид с постоянными частотами, скрытыми в шуме. Однако стационарные временные ряды такого типа, как описанные в разд. 2.1, характеризуются случайными  изменениями частоты, амплитуды и фазы. Для таких рядов выборочный спектр  сильно флуктуирует и не допускает какой-либо разумной интерпретации [27].

 Предположим, однако, что выборочный спектр был вычислен для временного ряда из  наблюдений, являющегося реализацией стационарного нормального процесса. Как уже говорилось выше, такой процесс не имеет никаких детерминированных синусоидальных или косинусоидальных компонент, но мы можем формально провести анализ Фурье и получить значения ,  для любой частоты . Если повторные реализации  наблюдений порождены стохастическим процессом, мы можем собрать популяцию значений   и . Тогда мы можем найти среднее значение  по повторным реализациям длины , а именно

.                        (2.2.9)

Для больших значений  можно показать (см., например, [27]), что среднее значение автоковариации  в повторных реализациях стремиться к теоретической автоковариации, т.е.

Переходя к пределу в (2.2.9) для  , определяем спектра мощности как

,   .    (2.2.10)

Отметим, что так как

,                        (2.2.11)

то для сходимости спектра  должно убывать с ростом  настолько быстро, что обеспечивать сходимость ряда (2.2.11). Так как спектр мощности это косинус – преобразования Фурье автоковариационной функции, знание автоковариационной функции математически эквивалентно знанию спектра мощности и наоборот. Далее мы будем называть спектр мощности просто спектром.

Интегрируя (2.2.10) в пределах от 0 да 1/2 , найдем дисперсию процесса

.                                                                                (2.2.12)

Следовательно, так же как периодограмма  показывает, каким образом дисперсия (2.2.6) ряда, состоящего из смеси синусоид и косинусоид, распределена между различными гармоническими компонентами, спектр  показывает, как дисперсия стохастического процесса распределена в непрерывном диапазоне частот. Можно интерпретировать  как приближенное значение дисперсии процесса в частотном диапазоне от  до .

Нормированный спектр. Иногда более удобно определять спектр (2.2.10) при помощи автокорреляций , а не автоковариаций . Результирующая функция

,     (2.2.13)

называется нормированным спектром. Из (2.2.12) вытекает, что эта функция имеет свойство

.

Поскольку  положительна, она обладает теми же свойствами, что и обычные плотности вероятности. Аналогия распространяется и на оценивание этих двух функций, к обсуждению которого мы переходим.

Рис. 2.8. Выборочный спектр мощности данных о партиях продукта.

Оценивание спектра. Казалось бы , что оценка спектра может быть получена из (2.2.10) заменой теоретических автоковариаций  их выборочными оценками .  Согласно (2.2.8), это означает, что выборочный спектр принимается за оценку . Однако можно показать (см. [27]), что выборочный спектр стационарного временного ряда сильно флуктуирует вокруг теоретического спектра. Интуитивное объяснение этого факта заключается в том, что выборочный спектр соответствует использованию слишком узкого интервала в частотной области. Это аналогично использованию слишком узкого интервала группирования для гистограммы при оценке обычного распределения вероятностей, используя модифицированную, или сглаженную, оценку

 ,                           (2.2.14)

где - специально подобранные весы, называемые корреляционным окном, можно увеличить «ширину полосы» оценки и получит сглаженную оценку спектра.

На рис. 2.8 показана выборочная оценка спектра данных о партиях продукта. Видно, что дисперсия ряда сконцентрирована в основном на высоких частотах. Это вызвано быстрыми осцилляциями исходно ряда, показанного на рис. 2.1.