2.2.4. Простые примеры автокорреляционных функций и нормированных спектров

Для иллюстрации мы приведем ниже эквивалентные представления двух простых стохастических процессов при помощи

1) их теоретических моделей,

2) их теоретических автокорреляционных функций,

3) их теоретических спектров.

Рассмотрим два процесса

,      ,

где - последовательность некоррелированных, случайных нормальных величин с нулевым средним значением и единичной дисперсией, т.е. белый шум. Используя определение (2.1.5)

,

где , находим, что автоковариации этих двух статистических процессов равны

 

Тогда теоретические автокорреляционные функции равны

и, используя (2.2.13), получаем, что теоретические нормированные спектра имеют вид

.

Автокорреляционные функции и нормированные спектры показаны на рис. 2.9 вместе с выборками из временных рядов для каждого процесса.

1. Следует отметить, что для этих двух стационарных процессов знание либо автокорреляционной функции, либо нормированного спектра (со средним значением и дисперсией) эквивалентно знанию модели (при условии, что процесс нормальный).

2. Очевидно, что автокорреляционная функция объясняет некоторые свойства ряда. Сравнительная гладкость первого ряда объясняется положительной связью между последовательными значениями; знакопеременный характер второго ряда объясняется отрицательной связью между последовательными значениями.

Рис. 2.9. Две простые стохастические модели (а), соответствующие им теоретические автокорреляционные функции (б) и спектральные плотности (в).

3. Спектральная плотность отражает другие, но эквивалентные характеристики ряда. Преобладание низких частот в первом ряде и высоких во втором проявляется в соответствующих спектрах.