3.1.2. Производящая функция автоковариаций линейного процесса

Основным инструментом анализа данных для идентификации моделей в гл.6 будет автокорреляционная функция. Поэтому нам важно знать автокорреляционную функцию линейного процесса. В приложении П3.1 показано, что автоковариационная функция линейного процесса (3.1.1) имеет вид

.                    (3.1.8)

В частности, принимая в (3.1.8) , мы находим, что дисперсия процесса равна

.                                                    (3.1.9)

Отсюда следует, что если процесс имеет конечную дисперсию, веса  должны уменьшаться достаточно быстро, для того чтобы ряд в правой части (3.1.9) сходился.

Часто более удобным способом получения автоковариаций линейного процесса оказывается использование производящей функции автоковариаций

,                                          (3.1.10)

в которой  (дисперсия процесса) - это коэффициент при , в то время как  (автоковариация для задержки ) - это коэффициент как при , так и при . В приложении П3.1 показано, что

.            (3.1.11)

Например, положим

,

так что . Подставляя это в (3.1.11), получим

.

Сравнивая с (3.1.11), находим, что автоковариации равны

,

,

.

В дальнейшем , рассматриваемая как фиктивная переменная в производящей функции, будет принимать и комплексные значения. В частности, иногда необходимо рассматривать отдельно случаи, когда ,  или , т. е. когда комплексное число  лежит внутри, на или вне единичной окружности.