3.1.3. Условия стационарности и обратимости линейного процесса

Стационарность. Сходимость рядов (3.1.9) обеспечивает конечное значение дисперсии процесса. Мы видели также в разд. 2.1.3, что автоковариации и автокорреляции должны удовлетворять ряду условий, обеспечивающих стационарность. Для линейного процесса эти условия могут быть объединены в одно, а именно, что ряд -производящая функция для весов - должен сходится при , т. е. для , лежащих внутри или на единичной окружности. Этот результат обсуждается в приложении П3.1.

Спектр линейного стационарного процесса. В приложении П3.1 показано, что, если мы подставим  в виде, где , в производящую функцию автоковариаций (3.1.11), то получим уменьшенный в 2 раза спектр мощности. Отсюда спектр линейного процесса равен

,    .         (3.1.12)

В действительности (3.1.12) – хорошо известное выражение [27], связывающее спектр  выхода линейной системы с равномерным спектром  входного белого шума, умноженным на квадрат коэффициента усиления системы .

Обратимость. Выше было показано, что веса  линейного процесса, если он стационарен, налагаемые на веса , для получения свойства, называемого «обратимостью». Условие обратимости не зависит от условий стационарности и применимо также к нестационарным линейным моделям, которые мы введем в гл. 4.

Для иллюстрации смысла понятия обратимости рассмотрим снова модель

.                                 (3.1.13)

Выражая  через , получим из (3.1.13)

,

т. е.

                      (3.1.14)

 

или

  ,             (3.1.15)

и веса  модели в форме (3.1.15) равны . При любом значении  (3.1.13) описывает обычный стационарный процесс. Однако, если , веса в разложении (3.1.14), выражающем  через текущие и прошлые значения , образуют расходящийся ряд. Это означает, что текущее отклонение  в момент  в (3.1.15) зависит от  с весами, растущими по мере роста . Мы избегаем этой ситуации, требуя, чтобы веса  в «обращенном» разложении (3.1.14) образовывали сходящийся ряд, т. е. чтобы . В этом случае мы будем называть ряд обратимым. Это условие будет, очевидно, выполняться, если ряд

сходится при , т. е. внутри или на единичной окружности.

В гл. 6, где мы рассмотрим вопрос о единственности этих моделей, мы увидим, что сходящееся разложение для  возможно и в случае, когда ; при этом  вырождается только через , т. е. через настоящее и будущее значения процесса. Требование обратимости необходимо, если мы заинтересованы в разумной связи текущих событий с событиями в прошлом.

В общем, линейный процесс

обратим, если веса  таковы, что ряд  сходится внутри или на единичной окружности.

Подводя итоги, отметим, что линейный процесс стационарен, если  сходится внутри или на единичной окружности, и обратим, если сходится в той же области.