3.1.4. Процессы авторегрессии и скользящего среднего

Представления общего линейного процесса (3.1.1) и (3.1.4) не будут практически полезными, если они содержат неограниченное число параметров  и . Мы рассмотрим теперь, как добиться экономии и все же сохранить достаточно представительные модели.

Процессы авторегрессии. Рассмотрим частный случай когда только первые  весов ненулевые. Эта модель может быть записана как

,                                  (3.1.16)

где мы используем символы  для конечного набора весовых параметров. Процесс (3.1.16) называется процессом авторегрессии -ого порядка, или сокращенно процессом АР(). В частности, большое практическое значение имеют процессы авторегрессии первого  и второго порядка

Теперь мы можем записать (3.1.16) в эквивалентной форме

или

.                                                                                                  (3.1.17)

Так как из (3.1.17) вытекает, что

,

то процесс авторегрессии можно трактовать как выход  линейного фильтра с передаточной функцией , входом которого служит белый шум .

Процессы скользящего среднего. Рассмотрим частный случай (3.1.1), когда только первые  из весов  ненулевые. Процесс имеет вид

 ,                         (3.1.18)

где символы  используются для обозначения конечного набора весовых параметров. Процесс (3.1.18) называется процессом скользящего среднего порядка , который иногда будет сокращенно обозначаться СС. В частности, особенно важны для практики процессы первого  и второго порядка :

Мы можем также записать (3.1.18) в эквивалентной форме

или

.                                                                              (3.1.19)

Отсюда следует, что процесс скользящего среднего можно трактовать как выход  линейного фильтра с передаточной функцией , на выход которого поступает белый шум .

Смешанные процессы авторегресии - скользящего среднего. Мы видели в разделе 3.1.1, что конечный процесс скользящего среднего

может быть записан как бесконечный процесс авторегрессии

.

Поэтому, если процесс действительно типа СС(1), его представление в виде процесса авторегрессии неэкономично. Аналогично процесс АР(1) не может быть экономично представлен с помощью процесса скользящего среднего. На практике для получения экономичной параметризации иногда бывает необходимо включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие скользящее среднее.

Такой процесс

или

                                                                         (3.1.20)

называется смешанным процессом авторегрессии - скользящего среднего порядка  и иногда сокращенно обозначается нами АРСС. Например, процесс АРСС(1,1) имеет вид

.

Так как (3.1.20) можно записать в виде

смешанный процесс авторегресси -  скользящего среднего можно интерпретировать как выход   линейного фильтра, передаточная функция которого есть отношение двух полиномов, на вход которого подается белый шум .

В следующих разделах мы обсудим важные характеристики моделей авторегрессии, скользящего среднего и смешанного типа. Мы исследуем их дисперсии, автокорреляционные функции, спектры, а также условия стационарности и обратимости, накладываемые на их параметры.