3.2. Процессы авторегрессии

3.2.1. Условия стационарности для процессов авторегрессии

Набор регулируемых параметров  процесса АР()

или

должен удовлетворять определенным условиям для того, чтобы процесс был стационарен.

Например, процесс авторегрессии первого порядка

может быть записан в виде

,

Отсюда

.                       (3.2.1)

В разделе 3.1.3 указывалось, что стационарность будет выполняться, если  сходится при . Из (3.2.1) вытекает, что параметр  стационарного процесса АР(1) должен подчиняться условию . Так как уравнение  имеет корень , это эквивалентно условию, что корень этого уравнения должен лежать вне единичного круга.

Для произвольного процесса АР  мы получаем

и, разлагая на элементарные дроби, получим

.

Отсюда, для того чтобы ряд  был сходящимся при , необходимо , где . Это эквивалентно тому, что корни уравнения  должны лежать вне единичного круга. Корни уравнения  можно рассматривать как нули полинома . Следовательно, условие стационарности заключается в том, что нули  должны лежать вне единичного круга. Аналогичные рассуждения применимы в случае, когда не все нули  различны. Уравнение  называется характеристическим уравнением процесса.

Так как ряд

конечен, обратимость процесса авторегрессии обеспечена без каких-либо дополнительных ограничений на его параметры.