3.2. Процессы авторегрессии
3.2.1. Условия стационарности для процессов авторегрессии
Набор
регулируемых параметров
процесса АР(
)
или
должен удовлетворять определенным
условиям для того, чтобы процесс был стационарен.
Например,
процесс авторегрессии первого порядка
может
быть записан в виде
,
Отсюда
. (3.2.1)
В разделе 3.1.3 указывалось, что
стационарность будет выполняться, если
сходится при
. Из (3.2.1) вытекает, что
параметр
стационарного
процесса АР(1) должен подчиняться условию
. Так как уравнение
имеет корень
, это эквивалентно
условию, что корень этого уравнения должен лежать вне единичного круга.
Для произвольного
процесса АР
мы
получаем
и, разлагая на элементарные дроби,
получим
.
Отсюда, для того чтобы ряд
был сходящимся при
, необходимо
, где
. Это эквивалентно
тому, что корни уравнения
должны лежать вне единичного
круга. Корни уравнения
можно рассматривать как нули полинома
. Следовательно,
условие стационарности заключается в том, что нули
должны лежать вне единичного
круга. Аналогичные рассуждения применимы в случае, когда не все нули
различны. Уравнение
называется характеристическим
уравнением процесса.
Так как ряд
конечен, обратимость процесса
авторегрессии обеспечена без каких-либо дополнительных ограничений на его
параметры.