3.2.4. Процесс авторегрессии второго порядка

Условие стационарности. Процесс авторегрессии второго порядка записывается в виде

 .               (3.2.16)

Для стационарности процесса необходимо, чтобы корни уравнения

.                (3.2.17)

лежали вне единичного круга, т. е. чтобы параметры  и  находились в треугольной области

                                          (3.2.18)

показанной на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Типичные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции  и  для различных стационарных моделей АР(2).

Автокорреляционная функция. Из (3.2.4) получаем разностное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет автокорреляционная функция рассматриваемого процесса:

.          (3.2.19)

Начальные значения  и . Из (3.2.5) следует, что общее решение разностного уравнения (3.2.19) имеет вид

 ,           (3.2.20)

причем  и  - корни характеристического уравнения (3.2.17). Когда корни действительны, автокорреляционная функция состоит из совокупности затухающих экспонент. Это происходит, когда , и соответствует областям 1 и 2, лежащим выше параболической границы на рис. 3.2 (заимствованном из работы [33]). Конкретнее в области 1 автокорреляционная функция затухает, оставаясь положительной, что соответствует положительному доминирующему корню в (3.2.20). В области 2 затухающая функция автокорреляции знакопеременна, что соответствует отрицательному доминирующему корню.

Если  и   комплексные , процесс авторегрессии второго порядка ведет себя как псевдопериодическиский. Это поведение отражается на функции автокорреляции, так как заменой  и  в (3.2.20) получаем

,                                               (3.2.21)

где , если , и  , если . В любом случае мы называем (3.2.21) затухающей синусоидой с параметром затухания , частотой  и фазой . Они связаны с параметрами процесса следующим образом:

                                                                                (3.2.22)

и имеет тот же знак, что и

                                                                  (3.2.23)

                                                                  (3.2.24)

Как показано на рис. 3.2, автокорреляционная функция в областях 3 и 4 – затухающая синусоида, причем фазовый угол  меньше 90 в области 4 и лежит между 90 и 180 градусами в области 3. Это означает, что в области 4 автокорреляционная функция вначале (для нескольких первых задержек) положительна, а в области 3 всегда меняет знак при переходе от задержки 0 к задержке 1.

Уравнения Юла - Уокера. Подставляя  в (3.2.6), получим уравнения Юла - Уокера в виде

                                                                                     (3.2.25)

Решив (3.2.25) относительно  и , получим

                                                                                    (3.2.26)

Диаграмма В в сборнике таблиц и диаграмм в конце книги позволяет найти значения  и  для любых данных значений,  и . Эта диаграмма используется в главах 6 и 7 для получения оценок   по значениям выборочных автокорреляций  и.

Уравнения (3.2.25) могут быть решены также относительно  и , что дает

                                                                                      (3.2.27)

Отсюда получаем начальные значения  в (3.2.19), указанные выше. Выражения для представления автокорреляционной функции в форме (3.2.20) или (3.2.21) удобны для объяснения свойств различных типов практически встречающихся процессов. Однако для вычисления автокорреляций процесса АР(2) при данных значениях  и  удобнее пользоваться непосредственно разностным уравнением (3.2.19).

Рис. 3.3. Допустимые области значений для стационарного процесса АР(2).

Используя условия стационарности (3.2.18) и выражения (3.2.27) для  и  можно показать, что допустимые значения   и  для стационарного процесса АР(2) должны лежать в области

На рис. 3.3, а показана область допустимых значений параметров  и , а на рис. 3.3, б - соответствующая область допустимых значений  и .

Рис. 3.4. Временной ряд, генерируемый процессом авторегрессии второго порядка.

Дисперсия. Из (3.2.8) следует, что дисперсия процесса равна

 .                                (3.2.28)

Спектр. Согласно (3.2.9), спектр выражается как

            (3.2.29)

Спектр также отражает псевдопериодическое поведение ряда в случае, когда корни характеристического уравнения комплексны. Для иллюстрации на рис. 3.4 показаны 70 членов ряда генерируемого моделью авторегрессии второго порядка

,

Рис. 3.5. Теоретическая автокорреляционная функция процесса авторегрессии второго порядка .

полученной подстановкой в (3.2.16)  и . На рис. 3.5 показана соответствующая теоретическая автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.2.19) с начальными значениями  и . Корни характеристического уравнения

комплексны, так что наблюдаемую псевдопериодичность реализации ряда можно было предугадать. Это поведение чётко проявляется в теоретической автокорреляционной функции на рис. 3.5; средний кажущийся период близок к 6.

Рис. 3.6. Теоретическая спектральная плотность процесса авторегрессии второго порядка .

Параметр затухания и частота согласно(3.2.22) и (3.2.23) равны

.

Таким образом, основной период функции автокорреляции равен 6.2.

Наконец, теоретический нормированный спектр, рассчитанный по формуле (3.2.29) и приведенный на рис. 3.6, показывает, что дисперсия ряда обусловлена в основном частотами, близкими к .