3.3.2. Автокорреляционная функция и спектр процесса скользящего среднего

Автокорреляционная функция. Как следует из (3.3.1), автоковариационная функция процесса СС () равна

.

Следовательно, дисперсия процесса равна

                                     (3.3.3)

и

Отсюда автокорреляционная функция имеет вид

              (3.3.4)

Мы видим, что автокорреляционная функция процесса СС () равна нулю для значений , больших порядка процесса . Другими словами, автокорреляционная функция процесса СС () обрывается на задержке .

Параметры скользящего среднего, выраженные через автокорреляции. Если  известны,  уравнений (3.3.4) можно разрешить относительно параметров . Однако в отличие от линейных уравнений Юла-Уокера (3.2.6) для процесса авторегрессии, уравнения (3.3.4) нелинейные. Поэтому, за исключением простого случая , который мы кратко обсудим здесь, эти уравнения решаются интерактивно способом, рассмотренным в приложении П6.2. Подставляя в (3.3.4) вместо  их оценки  и решая получившиеся уравнения, можно найти начальные оценки параметров скользящего среднего. В отличие от соответствующих оценок авторегрессии, полученных при такой же замене  и  в уравнениях Юла-Уокера, результирующие оценки могут не обладать высокой статистической эффективностью. Тем не менее они могут оказаться полезными при грубых оценках параметров на этапе идентификации, рассматриваемом в гл.6. Кроме того, они могут быть использованы как начальные приближения в интерактивной процедуре (рассматриваемой в гл. 7), сходящейся к эффективным оценкам максимального правдоподобия.

Спектр. Для процесса СС()

и

.

Используя (3.1.12), получаем отсюда выражение для спектра процесса СС()

         (3.3.5)

.

Обсудим теперь подробнее процессы скользящего среднего первого и второго порядков, имеющие большое практическое значение.