3.3.4. Процесс скользящего среднего второго порядка

Условия обратимости. Процесс скользящего среднего второго порядка определен как

и стационарен для всех значений  и . Однако он обратим только тогда, когда корни характеристического уравнения

                    (3.3.9)

лежат вне единичного круга, т. е.

                                  (3.3.10)

Эти условия аналогичны условиям (3.2.18) стационарности процесса АР(2)

Автокорреляционная функция. Из (3.3.3) следует, что дисперсия процесса равна

и из (3.3.4) - что автокорреляционная функция равна

                        (3.3.11)

Таким образом, автокорреляционная функция обрывается после задержки 2.

Из (3.3.10) и (3.3.11) вытекает, что первые две автокорреляции обратимого процесса СС(2) должны лежать внутри площади, ограниченной отрезками кривых

                         (3.3.12)

Область обратимости (3.3.10) для параметров процесса показана на рис. 3.8,а, и соответствующая область (3.3.12) значений автокорреляций - на рис. 3.8,б. Последний рисунок позволяет оценить, согласуется ли данная пара значений  с гипотезой, что модель - процесс СС(2). Если согласие имеется, значения  и  можно найти, решив нелинейные уравнения (3.3.11). Для облегчения такого расчета можно использовать диаграмму  в конце книги; она позволяет прямо находить значения  и  по данным  и .

Спектр. Из (3.3.5) находим спектр

                  (3.3.13)

Заметим, что это спектр с точностью до постоянного множителя  обратен спектру (3.2.29) процесса авторегрессии простого порядка.

Частная автокорреляционная функция. Точное выражение для функции частной автокорреляции процесса СС(2) оказывается сложным, но главную роль в нем играет либо сумма двух экспоненциальных членов [если корни характеристического уравнения (3.3.9) действительны], либо затухающая синусоида [если корни (3.3.9) комплексны]. Таким образом, эта функция ведет себя так же как, как автокорреляция процесса АР(2).

Рис. 3.8. Допустимые области значений для обратимого процесса СС(2)

Рис 3.9. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции для различных моделей СС(2)

На рис. 3.9 (заимствованном из [33]) показаны автокорреляционные функции (кривые слева) и частные автокорреляционные функции(кривые справа) для различных значений параметров из области обратимости. Сравнение с рис. 3.2, на котором приведены соответствующие автокорреляции и частные автокорреляции, иллюстрирует взаимность процессов СС(2) и АР(2).