3.3.5. Взаимность процессов авторегрессии и скользящего среднего

Результаты  предыдущего раздела выявили новые аспекты взаимности процессов авторегрессии и скользящего среднего. Как показано в табл. 3.2 в конце этой главы, из этой взаимности вытекает ряд следствий.

1) Для конечного процесса авторегрессии порядка   может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих , или  может быть представлено как бесконечная взвешенная сумма

предшествующих . Обратно, в конечном процессе скользящего среднего порядка   может быть представлено как конечная взвешенная сумма предшествующих  или  - как бесконечная сумма

предшествующих .

2) Конечный процесс СС имеет автокорреляционную функция, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но так как он эквивалентен бесконечному процессу АР, его частная автокорреляционная функция бесконечно протяженная. Главную роль в ней играют затухающие экспоненты и (или) затухающие синусоиды. Обратно, процесс АР имеет частную автокорреляционную функции, обращающуюся в нуль после некоторой точки, но его автокорреляционная функция имеет бесконечную протяженность и состоит из совокупности затухающих экспонент и (или) синусоид.

3) Параметры процесса авторегрессии конечного порядка  не должны удовлетворять каким-нибудь условиям, для того чтобы этот процесс был обратимым. Однако, что процесс был стационарен, корни  должны лежать вне единичного круга. Обратно, параметры процесса СС не должны удовлетворять каким-нибудь условиям для того, чтобы процесс был стационарным. Однако, для того чтобы процесс СС был обратимым, корни  должны лежать вне единичного круга.

4) Спектр процесса скользящего среднего обратен спектру соответствующего процесса авторегрессии.