3.4.2. Автокорреляционная функция и спектр смешанных процессов

Автокорреляционная функция. Выражение для автокорреляционной функции смешанного процесса может быть получено способом, аналогичным способу, используемому в разд.3.2.2 для процессов авторегрессии. Умножив все члены в (3.4.1) на  и перейдя к математическим ожиданиям, мы найдем, что автоковариационная функция удовлетворяет разностному уравнению

,         (3.4.2)

где - это взаимная ковариационная функция  и , определяемая как . Так как  зависти только от импульсов, которые произошли до момента , очевидно, что

, ; , .

Из (3.4.2) следует

и

,                                        (3.4.3)

или

.

Это означает, что для процесса АРСС существует  автокорреляций , значения которых связаны зависимостью (3.4.2) с  параметрами скользящего среднего  и  параметрами авторегрессии .

Далее,  значений  необходимы как начальные значения для решения разностного уравнения , , полностью определяющего автокорреляции при больших задержках. Если , вся автокорреляционная функция  для  будет состоять из совокупности затухающих экспонент и затухающих синусоид, и ее свойства определяются полиномом   и начальными значениями. Если же , имеется  начальных значений , не идентификации смешанных рядов.

Дисперсия. При получаем уравнение

,                                               (3.4.4)

решая которое вместе с  уравнениями (3.4.2) для , найдем .

Спектр. Из (3.1.12) найдем выражение для спектра смешанного процесса

         (3.4.5)

Частная автокорреляционная функция. Процесс (3.4.1) можно записать в виде

,

где - бесконечный ряд степеней . Отсюда частная автокорреляционная функция бесконечна по протяженности. При больших задержках она ведет себя как частная автокорреляционная функция чистого процесса скользящего среднего; в ней преобладают члены типа затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид, соотношения между которыми зависти от порядка скользящего среднего и значений параметров процесса.