3.4.3 Процесс авторегрессии первого порядка - скользящего среднего первого порядка

Важный для практики смешанный процесс авторегрессии первого порядка – скользящего среднего первого порядка АРСС(1,1) описывается формулой

             (3.4.6)

или, что равносильно,

.

Выведем некоторые важнейшие свойство этого процесса.

Условия стационарности и обратимости. Прежде всего, заметим, что процесс стационарен, если , и обратим, если . Обусловленная этим область допустимых значений параметров показана на рис. 3.10, а.

Автокорреляционная функция. Из (3.4.2) и (3.4.4) мы получаем

Умножив все члены (3.4.6) на  и переходя к математическим ожиданиям, получим

.

Отсюда автоковариационная функция процесса равна

                (3.4.7)

Отсюда следует, что автокорреляционная функция экспоненциально убывает от начального значения , зависящего от  и . Как показано на рис. 3.11, это затухание монотонное, если   положительно, и колебательное, если   отрицательно. Далее, знак  определяется знаком  и указывает, происходит ли затухание в области положительных или отрицательных значений.

Пользуясь (3.4.7), можно выразить две первые автокорреляции через параметры процесса, а именно

                    (3.4.8)

Диаграмма D в конце книги построена так, что позволяет находить решения уравнений (3.4.8) для  и  по заданным  и . Использую оценки  и  вместо  и  можно получить, таким образом, исходные выборочные оценки параметров  и.

Из (3.4.8) и условий стационарности и обратимости вытекает, что  и  должны лежать в области

                    (3.4.9)

Рис. 3.10. Допустимые области значений а-,;б- для стационарного и обратимого процессов АРСС(1,1).

Рис. 3.11. Автокорреляционные и частные автокорреляционные функции  или  для различных моделей АРСС(1,1).

Область допустимых значений  и  на рис. 3.10,б, она ограничивает диапазон допустимых комбинаций  и  для стационарного обратимого процесса АРСС(1,1).

Частная автокорреляционная функция. Частная автокорреляционная функция смешанного процесса АРСС(1,1), описываемого (3 4 6), состоит только из одного начального значения . Поэтому она ведет себя подобно функции частной автокорреляции чистого процесса СС(1), и в ней преобладает затухающий экспоненциальный член. Как показано на рис. 3.11, при положительном  она монотонно затухает от значения , знак которого совпадает со знаком . При отрицательном  в ней преобладает экспоненциально затухающий осциллирующий член, амплитуда которого убывает от значения . Знак  определяется знаком .