Приложение П3.2. Рекурентный метод вычисления оценок параметров авторегрессии

Покажем теперь, что оценки Юла–Уокера для параметров процесса АР можно получить, если известны оценки для процесса АР, подогнанного к тому же наблюденному временному ряду. Как было описано в разд. 3.2.6, этот рекуррентный метод можно использовать для получения приближенной частной автокорреляционной функции.

Чтобы проиллюстрировать этот метод, рассмотрим уравнение (3.2.34). Оценки Юла–Уокера получены для случая из

(П3.2.1)

(П.3.2.2)

Коэффициенты и можно выразить через , используя последние два уравнения (П3.2.2). Решение можно записать в матричном виде

, (П.3.2.3)

где

Теперь (П.3.2.3) можно записать иначе:

. (П.3.2.5)

Используя то, что (П.3.2.1) теперь можно представить в виде

получаем из (П.3.2.4)

или

(П.3.2.5)

Чтобы завершить вычисление и , нам нужно знать . Подставляя (П3.2.5) в первое из уравнений (П.3.2.2), получим

. (П.3.2.6)

Таким образом, частная автокорреляция вычисляется вначале по и с помощью (П3.2.6), а затем два других коэффициента и могут быть найдены из (П.3.2.5).

В общем случае рекуррентные формулы, заимствованные у Дарбина [34], имеют вид

, , (П.3.2.7)

. (П.3.2.8)

Пример. В качестве примера рассмотрим вычисление оценок , и - параметров процесса АР(3), подогнанного к числам Вольфа для солнечных пятен. Выборочные автокорреляции с точностью до трех значащих цифр после запятой равны ; ; . Тогда

Из (П.3.2.6) получим

Подставляя значения , , в (П.3.2.5), получим

Напомним читателю, что эти оценки частных автокорреляции несколько отличаются от оценок максимального правдоподобия, полученных подгонкой процессов авторегрессии последовательно растущих порядков. Они очень чувствительны к ошибкам округления, в особенности когда процесс близок к нестационарному.