Приложение П3.1. Автоковариации. Производящая функция автоковариаций и условия стационарности общего линейного процесса

Автоковариации. При задержке  автоковариация линейного процесса

с , очевидно, равна

.                (П3.1.1)

Здесь использовано свойство (3.1.2) автоковариационной функции белого шума.

Производящая функция автоковариации. Результат (П3.1.1) может быть подставлен в выражение для производящей функции автоковариации

,                                                                             (П3.1.2)

что приводит к

,

так как  при . Обозначим , так что . Тогда

 

или

,                                                 (П3.1.3)

что совпадает с приведенной в тексте формулой (3.1.11).

Условия стационарности. Если мы сделаем замену  и учтем, что , то из выражения (П3.1.2) для производящей функции автоковариации мы найдем уменьшенный в 2 раза спектр мощности. Отсюда спектр мощности линейного процесса имеет вид

,       .      (П3.1.4)

Следовательно, дисперсия процесса равна

.                                      (П3.1.5)

Можно показать [98], что для сходимости интеграла (П3.1.5) требуется сходимость бесконечного ряда  на единичном круге.