4.2.2. Представление модели, использующее случайные импульсы

Представление модели через текущий и предшествующие импульсы. Мы видели в разд. 3.1.1, что линейная модель может быть представлена как выход линейного фильтра

, (4.2.3)

входом которого является белый шум, или последовательность некоррелированных импульсов . Иногда полезно представлять модель АРПСС в форме (4.2.3); в частности, веса потребуется в гл. 5 для вычисления дисперсии прогнозов. Покажем теперь, что веса процесса АРПСС можно получить прямо из представления модели в виде разностного уравнения.

Общее выражение для весов . Если применить к обеим сторонам (4.2.3) обобщенный оператор авторегрессии , получим

Однако, так как

отсюда следует, что

. (4.2.4)

Следовательно, веса можно получить, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в уравнении

. (4.2.5)

Заметим, что для , больших, чем и , т. е. для таких, что

, если ,

веса удовлетворяют разностному уравнению, определенному обобщенным оператором авторегрессии, т. е.

, (4.2.6)

где действует на индекс . Тогда для достаточно больших веса представлены совокупностью полиномов, затухающих экспонент и затухающих синусоид от аргумента .

Пример. Чтобы показать, как пользоваться (4.2.5), рассмотрим процесс (4.2.2) порядка (1, 1, 1), для которого

Подстановка в (4.2.5) приводит к

и отсюда

, (4.2.7)

где

и . Отсюда мы можем представить модель (4.2.2) эквивалентным выражением

. (4.2.8)

Так как , веса при больших стремятся к , так что импульсы , которые внесли свой вклад в отдаленном прошлом, получают постоянный вес .

Усеченная форма представления модели через случайные импульсы. В некоторых задачах удобнее использовать выражение для модели, слегка отличающееся от (4.2.3). Пусть мы хотим выразить текущее значение процесса через импульсов , , …, , вошедших в систему после некоторого времени . Этот момент времени может, например, быть моментом первого наблюдения процесса.

Общая модель

, (4.2.9)

- это разностное уравнение с решением

. (4.2.10)

Краткое рассмотрение линейных разностных уравнений проведено в приложении П4.1. Напомним читателю, что решение таких уравнений весьма сходно с решением линейных дифференциальных уравнений. Функция - это общее решение однородного разностного уравнения

. (4.2.11)

В общем случае это решение состоит из линейной комбинации некоторых функций времени: степеней , действительных экспонент и комплексных экспонент , где константы , , - функции параметров модели . Частное решение - это любая функция, удовлетворяющая уравнению

. (4.2.12)

Не следует забывать, что в этом выражении действует на , а не на . В приложении П4.1 показано, что этому уравнению при удовлетворяет функция

(4.2.13)

Рассмотрим в качестве иллюстрации рис. 4.4. Из вышесказанного вытекает, что любое наблюдение можно связать с любым предшествующим временем и представить в виде суммы

Рис. 4.4. Роль функции и частного решения в описании поведения временного ряда.

двух слагаемых. Первое слагаемое - это компонента , уже определенная в момент времени . По нему можно оценить, как сказываются на значении ряда в момент наблюдения, предшествующие моменту . Иными словами, оно указывает, что было бы с процессом, если в момент времени источник импульсов был бы «выключен». Второе слагаемое - это добавочная компонента, не предсказуемая в момент времени , которая представляет результирующий эффект импульсов, образовавшихся после времени .

Пример. Для иллюстрации рассмотрим опять пример

Общее решение соответствующего однородного разностного уравнения

имеет вид

где , — коэффициенты, зависящие от прошлого процесса и, что существенно, изменяющиеся с номером .

Частное решение (4.2.13) при помощи формул (4.2.7) для весов представимо в виде

Таким образом, модель (4.2.8) можно записать в эквивалентном виде:

(4.2.14)

Связь между усеченной и полной формой представления модели через случайные импульсы. Вернемся теперь к общему случаю. Мы всегда можем предполагать, что начало процесса находится в бесконечно далеком прошлом, так что функцию без потери общности можно считать равной нулю.

В этом случае

(4.2.15)

— это полное выражение (4.2.3), описывающее модель.

Функция также может быть выражена через веса , так как, вычитая (4.2.10) из (4.2.15), мы получим для

(4.2.16)

Можно показать, что функция в форме (4.2.16) удовлетворяет (4.2.11), так как

Итак, для общей модели (4.2.9):

1) Значение процесса может быть выражено как бесконечная взвешенная сумма текущего и предшествующих импульсов :

2) Для значение можно представить как взвешенную конечную сумму текущего и предшествующих импульсов, возникающих после момента времени плюс функция — общее решение однородного разностного уравнения (4.2.1). Первое слагаемое состоит из первых членов бесконечной суммы , так что

(4.2.17)

Наконец, функция может быть принята равной

усеченной бесконечной сумме, так что

. (4.2.18)

В качестве примера рассмотрим еще раз модель

Мы можем выразить либо как бесконечную взвешенную сумму

либо при помощи конечной взвешенной суммы

Далее, функция — это усеченная сумма

которую можно представить в виде

где

Общее решение однородного разностного уравнения как условное математическое ожидание. Одним из следствий соотношения (4.2.18) является (при )

(4.2.19)

что показывает, как изменяется функция при изменении начала отсчета . Обозначим теперь условное математическое ожидание в момент времени через .

Это есть математическое ожидание при условии, что известно все прошлое процесса вплоть до момента , а то, что произойдет после момента , неизвестно. При отыскании следует учесть, что

Это означает, что в момент времени ожидаемые значения в будущем равны нулю, и математические ожидания тех , которые уже реализовались, равны этим реализовавшимся значениям.

Беря условные математические ожидания в момент от обеих частей (4.2.17), получаем . Отсюда для функция выражает ожидаемое в момент времени значение процесса в будущем, основанное на знании прошлого. Частное решение показывает, как это математическое ожидание изменится последующими событиями, представленными последовательностью импульсов В задаче прогнозирования, которую мы рассмотрим в гл. 5, окажется, что функция — это прогноз в момент времени с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Уравнение (4,2.19) можно использовать для «подправления» этого прогноза.