Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4.2.2. Представление модели, использующее случайные импульсы

Представление модели через текущий и предшествующие импульсы. Мы видели в разд. 3.1.1, что линейная модель может быть представлена как выход линейного фильтра

,                             (4.2.3)

входом которого является белый шум, или последовательность некоррелированных импульсов . Иногда полезно представлять модель АРПСС в форме (4.2.3); в частности, веса  потребуется в гл. 5 для вычисления дисперсии прогнозов. Покажем теперь, что веса  процесса АРПСС можно получить прямо из представления модели в виде разностного уравнения.

Общее выражение для весов . Если применить к обеим сторонам (4.2.3) обобщенный оператор авторегрессии , получим

.

Однако, так как

,

отсюда следует, что

.                                                                                     (4.2.4)

Следовательно, веса  можно получить, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в уравнении

.                 (4.2.5)

Заметим, что для , больших, чем  и , т. е. для таких, что

,              если    ,

,                         если    ,

веса  удовлетворяют разностному уравнению, определенному обобщенным оператором авторегрессии, т. е.

,                                                                (4.2.6)

где  действует на индекс . Тогда для достаточно больших  веса  представлены совокупностью полиномов, затухающих экспонент и затухающих синусоид от аргумента .

Пример. Чтобы показать, как пользоваться (4.2.5), рассмотрим процесс (4.2.2) порядка (1, 1, 1), для которого

и

.

Подстановка в (4.2.5) приводит к

,

и отсюда

,                                                                     

,                                                                     

,                                                        (4.2.7)

                                                      

                                                        

где

,                

и . Отсюда мы можем представить модель (4.2.2) эквивалентным выражением

.                                         (4.2.8)

Так как , веса  при больших  стремятся к , так что импульсы , которые  внесли свой вклад в отдаленном прошлом, получают постоянный вес .

Усеченная форма представления модели через случайные импульсы. В некоторых задачах удобнее использовать выражение для модели, слегка отличающееся от (4.2.3). Пусть мы хотим выразить текущее значение процесса  через  импульсов , , …, , вошедших в систему после некоторого времени . Этот момент времени  может, например, быть моментом первого наблюдения процесса.

Общая модель

,                                          (4.2.9)

- это разностное уравнение с решением

.                                        (4.2.10)

Краткое рассмотрение линейных разностных уравнений проведено в приложении П4.1. Напомним читателю, что решение таких уравнений весьма сходно с решением линейных дифференциальных уравнений. Функция  - это общее решение однородного разностного уравнения

.                                                  (4.2.11)

В общем случае это решение состоит из линейной комбинации некоторых функций времени: степеней , действительных экспонент  и комплексных экспонент , где константы , ,  - функции параметров модели . Частное решение  - это любая функция, удовлетворяющая уравнению

.                                         (4.2.12)

Не следует забывать, что в этом выражении  действует на , а не на . В приложении П4.1 показано, что этому уравнению при  удовлетворяет функция

               (4.2.13)

Рассмотрим в качестве иллюстрации рис. 4.4. Из вышесказанного вытекает, что любое наблюдение  можно связать с любым предшествующим временем  и представить в виде суммы

Рис. 4.4. Роль функции  и частного решения  в описании поведения временного ряда.

двух слагаемых. Первое слагаемое  - это компонента , уже определенная в момент времени . По нему можно оценить, как сказываются на значении ряда в момент  наблюдения, предшествующие моменту . Иными словами, оно указывает, что было бы с процессом, если в момент времени  источник импульсов  был бы «выключен». Второе слагаемое  - это добавочная компонента, не предсказуемая в момент времени , которая представляет результирующий эффект импульсов, образовавшихся после времени .

Пример. Для иллюстрации рассмотрим опять пример

.

Общее решение  соответствующего однородного разностного уравнения

имеет вид

,

где , — коэффициенты, зависящие от прошлого процесса и, что существенно, изменяющиеся с номером .

Частное решение (4.2.13) при помощи формул (4.2.7) для весов  представимо в виде

 .

Таким образом, модель (4.2.8) можно записать в эквивалентном виде:

                                                 (4.2.14)

Связь между усеченной и полной формой представления модели через случайные импульсы. Вернемся теперь к общему случаю. Мы всегда можем предполагать, что начало процесса находится в бесконечно далеком прошлом, так что функцию  без потери общности можно считать равной нулю.

В этом случае

                                                                  (4.2.15)

— это полное выражение (4.2.3), описывающее модель.

Функция также может быть выражена через веса , так как, вычитая (4.2.10) из (4.2.15), мы получим для

                                    (4.2.16)

Можно показать, что функция   в форме (4.2.16) удовлетворяет (4.2.11), так как

.

Итак, для общей модели (4.2.9):

1) Значение процесса может быть выражено как бесконечная взвешенная сумма текущего и предшествующих импульсов :

.

2) Для  значение  можно представить как взвешенную конечную сумму  текущего и предшествующих импульсов, возникающих после момента времени  плюс функция — общее решение однородного разностного уравнения (4.2.1). Первое слагаемое состоит из первых  членов бесконечной суммы , так что

                                             (4.2.17)

Наконец, функция  может быть принята равной

усеченной бесконечной сумме, так что

.                                                  (4.2.18)

В качестве примера рассмотрим еще раз модель

.

Мы можем выразить  либо как бесконечную взвешенную сумму

либо при помощи конечной взвешенной суммы

Далее, функция  — это усеченная сумма

которую можно представить в виде

где

,

.

Общее решение однородного разностного уравнения как условное математическое ожидание. Одним из следствий соотношения (4.2.18) является (при )

                  (4.2.19)

что показывает, как изменяется функция при изменении начала отсчета . Обозначим теперь условное математическое ожидание  в момент времени  через .

Это есть математическое ожидание при условии, что известно все прошлое процесса вплоть до момента , а то, что произойдет после момента , неизвестно. При отыскании  следует учесть, что

Это означает, что в момент времени  ожидаемые значения  в будущем равны нулю, и математические ожидания тех , которые уже реализовались, равны этим реализовавшимся значениям.

Беря условные математические ожидания в момент  от обеих частей (4.2.17), получаем . Отсюда для  функция  выражает ожидаемое в момент времени  значение  процесса в будущем, основанное на знании прошлого. Частное решение  показывает, как это математическое ожидание изменится последующими событиями, представленными последовательностью импульсов В задаче прогнозирования, которую мы рассмотрим в гл. 5, окажется, что функция  — это прогноз  в момент времени  с минимальной среднеквадратичной ошибкой.

Уравнение (4,2.19) можно использовать для «подправления» этого прогноза.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>