4.3.2. Процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка (0.2.2)

Представление разностным уравнением. Процесс

                                                 (4.3.11)

весьма удобен для описания рядов, имеющих стохастический тренд (например, на рис. 4.6), и мы исследуем теперь его общие свойства внутри диапазона обратимости

Как и ранее, можно явно выразить  через предшествующие  и :

Представление модели через случайные импульсы. Для того чтобы выразить  через , мы должны представить оператор в правой части в разностном виде:

Приравнивая коэффициенты, найдем выражения для  через  и наоборот, а именно

                                       (4.3.12)

Модель (4.3.11) можно тогда записать в виде

                                                       (4.3.13)

Дважды суммируя (4.3.13), получаем

                                            (4.3.14)

так что веса  для этого процесса оказываются равными

Рис. 4.8. Область обратимости для параметров и  процесса ПСС (0,2,2).

Важное преимущество использования для рассматриваемой модели выражений (4.3.13) или (4.3.14) по сравнению с (4.3.11) становится очевидным, если положить в (4.3.13)  Тогда

что соответствует процессу (0, 1, 1) с Однако, если мы положим в (4.3.11) , получаем

Далее, в гл 5, будет показано, что для рядов, генерируемых процессом (0, 2, 2), оптимальные прогнозы лежат вдоль прямой линии, уровень и наклон которой непрерывно подправляются по мере поступления новых данных. Напротив, ряд, генерируемый процессом (0,1,1), может давать информацию только для непрерывного подправления уровня, а не наклона. Во многих случаях весьма важно, можно ли предсказать и подправить линейный тренд и уровень. Если необходимо сделать выбор в пользу одной из этих моделей, то вопрос сводится к тому, равно или не равно нулю  в (4.3.14).

Область обратимости для ПСС(0, 2, 2) та же, что и для СС(2) в гл 3. Она может быть определена в координатах  или  как

           (4.3.15)

Треугольная область для  была показана на рис. 3.8; соответствующая область для  показана на рис. 4.8.

Усеченная форма представления модели через случайные импульсы. При помощи (4.3.14) усеченная формула для модели (4.2.17) может быть представлена в виде

       (4.3.16)

где функция — общее решение однородного уравнения

т. е.

и является полиномом от  первой степени с коэффициентами, зависящими от положения начала отсчета .

В приложении П4.3 показано, что эта функция может быть явно выражена через :

     (4.3.17)

так что

Из рассмотрения разностей  и  следует, что если начало отсчета перенесено из  в , то  и  корректируются согласно формулам

                                            (4.3.18)

Мы видим, что если эта модель подходит для описания процесса, математическое ожидание будущего поведения ряда по данным, доступным к моменту, представляется прямой линией (4.3.17) с начальным положением  и наклоном  Фактически в момент времени  процесс отклонится от этой линии из-за влияния случайной компоненты

непредсказуемой в момент времени . Далее, при переносе начала отсчета из  в  данные о начальном положении и наклоне прямой должны быть скорректированы, согласно (4.3.18).

Обращенное представление модели. Наконец, рассмотрим модель в обращенном представлении

Пользуясь (4.2.22) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  в

находим, что -веса процесса ПСС(0, 2, 2) равны

                (4.3.19)

где  действует на .

Если корни характеристического уравнения  действительны, -веса предшествующих  являются наложением двух затухающих экспонент. Если корни комплексные, веса ведут себя, как затухающая синусоида. На рис. 4.9 показаны веса для процесса при и  (соответственно при  и ).

Рис. 4.9. Веса  процесса ПСС(0,2,2) с ,

Из рис. 3.9 и 4.8 видно, что при этих значениях коэффициентов характеристическое уравнение имеет комплексные корни (так как его дискриминант ). Отсюда веса на рис. 4.9 должны вести себя как значения затухающей синусоиды, как это и происходит на самом деле.