4.3.3. Общий процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка (0, d, q)

Представление разностным уравнением. Общий процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка  имеет вид

              (4.3.20)

где нули функции  должны лежать вне единичного круга, если процесс обратим. Модель (4.3.20) может быть выражена в явном виде через прошлые значения  и :

Представление через случайные импульсы. Для того чтобы выразить  через , запишем оператор в правой части (4.3.20) через . Получаем

         (4.3.21)

где , как и прежде, можно явно выразить через , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .

Подставляя (4.3.21) в (4.3.20) и суммируя  раз, получаем

       (4.3.22)

При  из (4.3.22) следует, что в дополнение к суммам мы получили  дополнительных членов вида, содержащих .

Если мы представим это решение в виде конечных сумм импульсов , поступающих в систему, начиная с некоторого момента , мы получим уравнение в той же форме, но с дополнительным членом в виде функции, являющейся общим решением однородного уравнения

которое представляет собой полином

Как и ранее, функция  описывает ту составляющую процесса, которая предсказуема в момент времени . Аналогично коэффициенты  могут быть представлены бесконечными суммами до момента времени , т. е. ,. Мы опять-таки можем найти, как изменятся эти коэффициенты при сдвиге начала отсчета из  в .

Обращенное представление модели. Наконец, модель может быть представлена обращенной формулой

или

Веса  могут быть найдены приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях  в (4.2.22), а именно

    (4.3.23)

Для данной модели их удобнее находить подстановкой численных значений в (4.3.23), нежели с помощью общей формулы.

Рис. 4.10. Область обратимости для параметров и  процесса ПСС (0,2,3).

Заметим, что из (4.3.23) вытекает, что для , больших чем и , веса  удовлетворяют разностному уравнению

определяемому оператором скользящего среднего. Отсюда следует, что для достаточно больших  веса  ведут себя как значения суммы затухающих экспонент и синусоид.

Процесс ПСС порядка (0, 2, 3). Наконец, рассмотрим еще один достаточно интересный пример — процесс ПСС порядка (0,2,3):

Тем же способом, что и ранее, можно записать процесс в проинтегрированной форме как

где соотношения между  и  имеют вид

Можно также воспользоваться усеченным представлением

Наконец, область обратимости определена неравенствами

и показана на рис. 4.10.

В гл. 5 мы покажем, как можно оптимально предсказывать будущие значения временного ряда для модели АРПСС. При изучении способов прогноза мы будем широко пользоваться различными формами представления моделей, рассмотренными в этой главе.