Приложение П4.1. Линейные разностные уравнения

В этой книге мы часто рассматриваем линейные разностные уравнения. В частности, модель АРПСС связывает выход  со входом  с помощью разностного уравнения

           (П4.1.1)

где.

Уравнение (П4.1.1) можно также записать в виде

где

Ниже мы дадим вывод общего решения разностного уравнения (П4.1.1) с начальными условиями, заданными в момент времени .

1) Вначале будет показано, что общее решение можно записать в виде

где  — общее решение соответствующего однородного уравнения и  — частное решение нашего уравнения.

2) Будет получена общая формула для функции .

3) Наконец, будет выведена общая формула для частного решения.

Общее решение. Наши рассуждения аналогичны применяемым при выводе решения линейных дифференциальных или линейных алгебраических уравнений. Положим, что  — любое частное решение уравнения

                (П4.1.2)

т. е.

                (П4.1.3)

Вычитая (П4.1.3) из (П4.1.2), получаем

                             

Таким образом,удовлетворяет уравнению

                         (П4.1.4)

Тогда

и, следовательно, общее решение (П4.1.2) есть сумма общего решения однородного разностного уравнения (П4.1.4) и  - произвольного частного решения (П4.1.2). В дальнейшем мы обозначаем   как , a  как .

Вычисление функции . Простые корни. Рассмотрим однородное разностное уравнение

                                                                      (П4.1.5)

где

                            (П4.1.6)

и предположим вначале, что  все отличны друг от друга. Тогда, как будет показано ниже, общее решение (П4.1.5) в момент  для ряда, начинающегося в момент , имеет вид

                              (П4.1.7)

где  — константы. Тогда действительный корень уравнения  создает затухающее экспоненциальное слагаемое  в (П4.1.7). Пара сопряженных комплексных корней создает затухающее синусоидальное слагаемое в (П4.1.7).

Чтобы убедиться, что (П4.1.7) действительно удовлетворяет (П4.1.5), подставим (П4.1.7) в (П4.1.5) и получим

                          (П4.1.8)

Рассмотрим теперь

Видно, что  обращается в нуль для каждого , если

т. е. если  является корнем уравнения . Так как из (П4.1.6) следует, что корни  — это, то  при всех  и, следовательно, справедливо (П4.1.8). Это подтверждает, что (П4.1.7) есть общее решение уравнения (П4.1.5).

Чтобы доказать (П4.1.7) непосредственно, рассмотрим частный случай уравнения второго порядка

которое можно записать как

                                                               (П4.1.9)

где

                                                              (П.4.10)

Из (П4.1.9) вытекает

и, следовательно,

где  — константа, определяемая начальным значением . Поэтому (П4.1.10) можно записать как

  (П.4.1.11)

где  — константы, определяемые начальными значениями ряда. Эти рассуждения можно продолжить и показать, что общее решение (П4.1.5) при простых корнях определяется формулой (П4.1.7).

Кратные корни. Примем теперь, что  имеет -кратный корень , так что  содержит множитель . В частности, рассмотрим решение (П4.1.11) уравнения второго порядка, у которого. Тогда (П4.1.11) перейдет в

или

В общем случае, если имеется -кратный корень , как можно проверить прямой подстановкой в (П4.1.5), общее решение имеет вид

   (П4.1.12)

В частности, когда , как в процессе ПСС, решение принимает вид

                               (П4.1.13)

т. е. является полиномом по  степени .

В общем случае, когда  можно разложить на множители

общее решение однородного уравнения  имеет вид

                    (П4.1.14)

т. е. состоит из суммы затухающих экспоненциальных членов  полиномиальных членов , затухающих синусоидальных членов  и их комбинаций.

Нахождение частного решения. Покажем теперь, что частное решение , удовлетворяющее уравнению

                             (П4.1.15)

есть

                    (П4.1.16)

где веса  те же, что и в представлении модели (4.2.3). Они удовлетворяют уравнению

      (П4.1.17)

Левая часть уравнения (П4.1.17) может быть представлена в виде

            (П4.1.18)

а правая часть (П4Л.17) имеет вид

                               

Отсюда следует, что первые  столбцов в этой таблице дают при суммировании по столбцу суммы.

Далее, левая часть в (П4.1.15), где определено равенствами (П4.1.16), равна сумме членов в первых  столбцах (отделенных справа вертикальной линией). Следовательно, если, , т. е. вертикальная линия проведена за -м столбцом, сумма всех членов до вертикальной линии равна . Это и показывает, что (П4.1.16) — частное решение разностного уравнения.

Пример. Рассмотрим процесс ПСС(0, 1,1)

                                                                        (П4.1.19)

у которого  для . Имеем

                                          (П4.1.20)

Если  —  решение (П4.1.19), то

и, как легко проверить, эта функция удовлетворяет (П4.1.20) при , т. е. при .