5.1.2. Три основных представления прогноза

Мы видели, что прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой  для упреждения  — это условное математическое ожидание  случайной величины  в момент .

Используя этот факт, мы можем записать выражения для прогноза любым из трех различных способов, соответствующих трем способам представления модели, приведенным в начале этого раздела. Для простоты обозначений временно примем, что квадратные скобки означают взятие условного математического ожидания в момент времени . Именно

Для  имеются три различных способа выражения прогнозов.

Прогнозы, полученные из разностного уравнения. Переходя в (5.1.2) к условным математическим ожиданиям в момент , получаем

       (5.1.18)

Прогноз в проинтегрированном виде. Пользуясь (5.1.3), получаем

        (5.1.19)

что совпадает по форме с выражением (5.1.13), с которым мы уже встречались. Можно также воспользоваться усеченной формой представления модели (5.1.5) и при положительных  получить

                                                   (5.1.20)

где  — общее решение соответствующего однородного разностного уравнения в момент .

Прогноз как взвешенное среднее предшествующих наблюдений и прогнозов, сделанных в тот же момент с меньшими упреждениями. Наконец, перейдя в (5.1.7) к условным математическим ожиданиям, получим

.                                                                        (5.1.21)

Нужно отметить, что прогноз с минимальной среднеквадратичной ошибкой определен через условное математическое ожидание

для которого теоретически требуется знание всех прошлых  до бесконечности. Однако условие обратимости, которое мы наложили на общую модель АРПСС, требует, чтобы веса  (5.1.21) образовывали сходящийся ряд. Отсюда для вычисления прогноза с заданной точностью, начиная с некоторого , влиянием  , можно пренебречь. На практике веса  обычно затухают довольно быстро, так что, какое бы представление модели ни использовалось в вычислениях, только умеренная часть ряда  необходима для вычисления прогноза с достаточной точностью.

При вычислении условных математических ожиданий, входящих в выражения (5.1.18) — (5.1.21), мы должны учесть, что, если  — неотрицательное целое, то

                                                    (5.1.22)

Следовательно, чтобы получить прогноз , нужно выразить модель для  с помощью любого из трех рассмотренных выше явных представлений и действовать с членами в правой части согласно следующим правилам:

Члены , известные уже к моменту , оставить без изменения.

 , еще не известные, заменить их прогнозами  на момент .

Члены , уже известные, определить по .

Члены, еще не известные, заменить нулями. Для массовых расчетов удобнее пользоваться непосредственно представлением модели разностным уравнением (5.1.18).

Пример: прогнозирование с использованием представления модели разностным уравнением. В гл. 7 будет показано, что ряд  хорошо описывается моделью

т.е.

или

Прогнозы в момент  будут иметь вид

                                             (5.1.23)

Видно, что прогнозы легко вычисляются рекуррентным способом, начиная с .

Хотя в приведенном выше примере в модели не имелось членов скользящего среднего, такие члены не вносят дополнительных трудностей. Так, далее в этой главе мы рассмотрим ряд, возникающий в проблеме регулирования, модель которого в момент  имеет вид

Тогда

Вспомним, что в этих выражениях , , и процесс прогнозирования может быть начат подстановкой вместо неизвестных  значений их безусловных математических ожиданий, равных нулю.

В общем, если оператор скользящего среднего имеет -й порядок, уравнения прогноза для  будут зависеть непосредственно от , но для прогнозов с большим упреждением такой прямой зависимости уже не будет. Не следует, конечно, думать, что влияние этих  не сказывается на прогнозах с большим упреждением. В рассмотренном примере  зависит от  и , а они в свою очередь зависят от   и .