1.2.2. Модели передаточных функций
Важный тип динамического соотношения между непрерывными входом и выходом, для которого можно найти много физических примеров,- это такой тип, у которого отклонения входа
и выхода
от соответствующих средних значений связаны линейным дифференциальным уравнением вида
, (1.2.11)
где
- дифференциальный оператор
,
и
- неизвестные параметры и
-параметр, измеряющий холостое время, или чистое запаздывание, выхода относительно входа. Простейшим примером (1.2.11) является система, у которой скорость измерения выхода пропорциональна разности между входом и выходом, т. е.
,
.
Аналогично для дискретных данных в гл. 10 мы описываем систему, где вход
и выход
, измеряемые через равные интервалы времени, связаны разностным уравнением
, (1.2.12)
в котором дифференциальный оператор
заменен разностным оператором
. Выражение вида (1.2.12),содержащее малое число параметров
, часто можно использовать как аппроксимацию динамического соотношения более сложной природы.
Линейную модель (1.2.12) можно эквивалентным образом писать с помощью прошлых значений входа и выхода, подставив в (1.2.12) 
, (1.2.13)
.
Другими словами, выход
и вход
связаны линейным фильтром
, (1.2.14)
передаточная функция которого
(1.2.15)
Может быть выражена как отношение двух полиномов
.
Линейный фильтр (1.2.14) называют устойчивым, если ряд (1.2.15) сходится при
. Ряд весов
, появляющихся в передаточной функции (1.2.15), называется функцией отклика на единичный импульс. Заметим, что для модели (1.2.12) первые
весов
равны нулю. Гипотетическая функция отклика для системы, показанной на рис. 1.2, изображена в центре этого рисунка.
Модель передаточной функции (1.2.13) позволяет иначе интерпретировать стохастические модели (1.2.4) и (1.2.5). Часто возмущения выхода
вызываются возмущениями некоторой переменной, с которой
динамически связано уравнением вида (1.2.12). Поэтому можно ожидать, что сложное стохастическое поведение случайной переменной
может быть выражено через другую случайную переменную
с более простыми свойствами соотношением
.
Если допустить возможность существования неустойчивого фильтра, у которого один или более корней уравнения
равны единице, то, пользуясь ранее введенными обозначениями, можно получить
. (1.2.16)
Стохастические модели, рассмотренные выше, как раз принадлежат к этому типу, причём
- источник белого шума. Поскольку (1.2.16) можно записать в виде
,
то считается, что
можно получить пропусканием белого шума через линейный фильтр с передаточной функцией
.
Выводы
1) Мы часто можем описать динамическое соотношение входа
и выхода
с помощью линейного фильтра
,
где
- передаточная функция фильтра.
2) В свою очередь
часто можно компактно и достаточно точно представить в виде отношения двух полиномов малых степеней от
:
,
так что динамические уравнения вход – выход можно записать как
.
3) Мы будем считать, что ряд
с сильно зависимыми последовательными значениями может быть представлен как результат пропускания белого шума
через динамическую систему, в которой отдельные корни уравнения
могут быть единицами. Это позволяет получить модель процесса авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего
.
Модели с наложенным шумом. Мы видели, что задача оценивания подходящей модели, связывающей выход
и вход
, эквивалентна оцениванию передаточной функции
. Однако эта задача на практике усложняется присутствием шума
, искажающего истинное соотношение между входом и выходом следующим образом:
,
где
и
независимы. Положим, как показано на рис. 1.5, что шум
может быть описан нестационарной стохастической моделью вида (1.2.5) или (1.2.7), т. е.
.

Рис.1.5 Модель передаточной функции динамической системы с наложенным шумом: 1-линейный фильтр, 2 –линейная динамическая система
Тогда наблюдаемое соотношение между входом и выходом будет иметь вид
. (1.2.17)
На практике необходимо оценить передаточную функцию
линейного фильтра, описывающего шум, в дополнение к передаточной функции
, описывающей динамическое соотношение между входом и выходом. Методы получения таких оценок обсуждается в гл. 11.