1.2.2. Модели передаточных функций

Важный тип динамического соотношения между непрерывными входом и выходом, для которого можно найти много физических примеров,- это такой тип, у которого отклонения входа и выхода от соответствующих средних значений связаны линейным дифференциальным уравнением вида

,  (1.2.11)

где - дифференциальный оператор ,и - неизвестные параметры и -параметр, измеряющий холостое время, или чистое запаздывание, выхода относительно входа. Простейшим примером (1.2.11) является система, у которой скорость измерения выхода пропорциональна разности между входом и выходом, т. е.

,

.

Аналогично для дискретных данных в гл. 10 мы описываем систему, где вход и выход , измеряемые через равные интервалы времени, связаны разностным уравнением

,  (1.2.12)

в котором дифференциальный оператор  заменен разностным оператором . Выражение вида (1.2.12),содержащее малое число параметров , часто можно использовать как аппроксимацию динамического соотношения более сложной природы.

Линейную модель (1.2.12) можно эквивалентным образом писать с помощью прошлых значений входа и выхода, подставив в (1.2.12)

 , (1.2.13)

 .

Другими словами, выход и вход  связаны линейным фильтром

 ,       (1.2.14)

передаточная функция которого

  (1.2.15)

Может быть выражена как отношение двух полиномов

.

Линейный фильтр (1.2.14) называют устойчивым, если ряд (1.2.15) сходится при . Ряд весов , появляющихся в передаточной функции (1.2.15), называется функцией отклика на единичный импульс. Заметим, что для модели (1.2.12) первые  весов  равны нулю. Гипотетическая функция отклика для системы, показанной на рис. 1.2, изображена в центре этого рисунка.

Модель передаточной функции (1.2.13) позволяет иначе интерпретировать стохастические модели (1.2.4) и (1.2.5). Часто возмущения выхода  вызываются возмущениями некоторой переменной, с которой  динамически связано уравнением вида (1.2.12). Поэтому можно ожидать, что сложное стохастическое поведение случайной переменной  может быть выражено через другую случайную переменную  с более простыми свойствами соотношением

.

Если допустить возможность существования неустойчивого фильтра, у которого один или более корней уравнения  равны единице, то, пользуясь ранее введенными обозначениями, можно получить

.   (1.2.16)

Стохастические модели, рассмотренные выше, как раз принадлежат к этому типу, причём - источник белого шума. Поскольку (1.2.16) можно записать в виде

,

то считается, что   можно получить пропусканием белого шума через линейный фильтр с передаточной функцией .

Выводы

1) Мы часто можем описать динамическое соотношение входа и выхода с помощью линейного фильтра

,  

где  - передаточная функция фильтра.

2) В свою очередь  часто можно компактно и достаточно точно представить в виде отношения двух полиномов малых степеней от :

,

так что динамические уравнения вход – выход можно записать как

.

3) Мы будем считать, что ряд  с сильно зависимыми последовательными значениями может быть представлен как результат пропускания белого шума  через динамическую систему, в которой отдельные корни уравнения  могут быть единицами. Это позволяет получить модель процесса авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего

.

Модели с наложенным шумом. Мы видели, что задача оценивания подходящей модели, связывающей выход  и вход , эквивалентна оцениванию передаточной функции . Однако эта задача на практике усложняется присутствием шума , искажающего истинное соотношение между входом и выходом следующим образом:

,

где  и  независимы. Положим, как показано на рис. 1.5, что шум  может быть описан нестационарной стохастической моделью вида (1.2.5) или (1.2.7), т. е.

.

Рис.1.5 Модель передаточной функции динамической системы с наложенным шумом: 1-линейный фильтр, 2 –линейная динамическая система

Тогда наблюдаемое соотношение между входом и выходом будет иметь вид

.     (1.2.17)

На практике необходимо оценить передаточную функцию  линейного фильтра, описывающего шум, в дополнение к передаточной функции , описывающей динамическое соотношение между входом и выходом. Методы получения таких оценок обсуждается в гл. 11.