1.2.1. Стационарные нестационарные стохастические модели для прогнозирования и регулирования

Важный класс стохастических моделей для описания временных рядов, который привлек большое внимание, - так называемые стационарные модели. Они основаны на предположении, что процесс остается в равновесии относительно постоянного среднего уровня. Однако в индустрии, коммерции и экономике, где прогнозирование имеет особо важное значение, многие временные ряды часто лучше описываются как нестационарные и, в частности, как не имеющие естественного среднего значения. Поэтому не удивительно, что методы экономического прогнозирования, предложенные Холтом [1, 22], Винтерсом [23], Брауном [2] и в монографии ICI [3], пользуются экспоненциально взвешенными скользящими средними; можно показать, что такой подход соответствует одному частному виду нестационарного процесса. Хотя такие методы слишком частные, чтобы эффективно применяться ко всем временным рядам, тот факт что они обеспечивают правильную прогнозирующую функцию, указывает на характер нестационарной модели, пригодной для этого класса проблем.

Стохастическая модель, для которой прогнозирование экспоненциально взвешенным скользящим средним является оптимальным, относится к классу нестационарных процессов, называемых процессами авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС), которые обсуждаются в главе 4. Этот широкий класс процессов обеспечивает множество как стационарных, так и нестационарных моделей, которые адекватно описывают многие встречающиеся на практике временные ряды. Наш подход к прогнозированию заключается в отыскании вначале адекватной стохастической модели для исследуемого временного ряда. Как показано в гл. 5, когда подходящая модель ряда найдена, с её помощью немедленно находится оптимальная прогнозирующая методика. Частным случаем таких методик является прогнозирование экспоненциально взвешенным скользящим средним.

Некоторые простые операторы. Мы будем широко пользоваться оператором сдвига назад , определяемым как ; отсюда . Обратная операция выполняется оператором сдвига вперед , задаваемым как ; следовательно, . Еще один важный оператор – разностный оператор со сдвигом назад  , который можно выразить через  как

.

В свою очередь оператор, обратный , - это оператор суммирования , выражаемый как

.

Модель линейного фильтра. Применяемые нами стохастические модели используют тот факт [24], что временные ряды, в которых последовательные значения сильно зависимы, целесообразно рассматривать как генерируемые последовательностью независимых импульсов . Эти импульсы – реализации случайных величин с фиксированным распределением, которое обычно предполагается нормальным с нулевым средним дисперсией .Такая последовательность случайных величин называется в технической литературе белым шумом.

Предполагается, что белый шум  можно трансформировать в процесс  при помощи линейного фильтра, показанного на рис. 1.4а. Операция линейной фильтрации заключается в вычислении взвешенной суммы предыдущих наблюдений, так что

      (1.2.1)

В общем  - параметр, определяющий «уровень» процесса, и

- линейный оператор, преобразующий  в  и называемый передаточной функцией фильтра.

Рис. 1.4а. Представление временного ряда как выхода линейного фильтра.

Последовательность  образованная весами, теоретически может быть конечной или бесконечной. Если эта последовательность (конечная или бесконечная) сходящаяся, фильтр называется устойчивым, а процесс  будет стационарным. Параметр  будет тогда средним, вокруг которого процесс варьирует. В других случаях  нестационарен, и  не имеет какого-либо особого смысла, кроме как некой точки отсчёта уровня процесса.

Модели авторегрессии. Так называемая модель авторегрессии является исключительно полезной стохастической моделью для описания некоторых встречающихся на практике рядов. В этой модели текущее значение процесса выражается как конечная линейная совокупность предыдущих значений процесса и импульса . Обозначим значение процесса в равноотстоящие моменты времени  как . Пусть   будут отклонениями от , например . Тогда

    (1.2.2)

Называется процессом авторегрессии (АР) порядка . Такое название объясняется тем, что линейная модель

Связывающая «зависимое» переменное  с множеством «независимых» переменных , плюс член , описывающий ошибку, часто называется моделью регрессии; говорят, что  «регрессирует» на . В (1.2.2) переменная  регрессирует на своих предшествующих значениях; поэтому модель авторегрессирующая. Если мы определим оператор авторегрессии порядка  как

,

то модель авторегрессии можно сжато описать как

.

Эта модель содержит  неизвестных параметра:  которые на практике следует оценить по наблюдениям. Дополнительный параметр - дисперсия белого шума

Нетрудно заметить, что модель авторегрессии является частном видом модели линейного фильтра (1.2.1). Например,  можно исключить из правой части (1.2.2) подстановкой

Аналогичным образом можно исключить  и т. д., получив в результате бесконечный ряд из .

Символически это можно записать как

,

что эквивалентно

,

где

.

Процессы авторегрессии могут быть стационарным или нестационарными. Чтобы процесс был стационарным, нужно выбрать  так, чтобы веса  в  образовывали сходящийся ряд. Эти модели будут подробно обсуждаться в гл. 3 и 4.

 Модели скользящего среднего. Модель авторегрессии (1.2.2) выражает отклонение  процесса в виде конечной взвешенной суммы  предыдущих отклонений процесса  плюс случайный импульс . Равным образом, как было только что показано, она выражает  как бесконечную взвешенную сумму .

Другой тип моделей, имеющий большое значении в описании наблюдаемых временных рядов, - это так называемый процесс скользящего среднего. Пусть  линейно зависит от конечного  предыдущих . Такой процесс

       (1.2.3)

называется процессом скользящего среднего (СС) порядка . Название «скользящее среднее» слегка вводит в заблуждение, так как веса , на которые умножаются , не обязаны давать в сумме единицу или хотя бы быть положительными. Однако из-за общеупотребительности этого термина мы будем его придерживаться.

Если мы определим оператор скользящего среднего порядка  как

,

то модель скользящего среднего можно сжато записать как

.

Она содержит  неизвестных параметра:, которые должны на практике оцениваться по наблюдениям.

Смешанные модели автрорегрессии - скользящего среднего. Для достижения большей гибкости в подгонке моделей к наблюдаемым временным рядам иногда целесообразно объединить в одной модели и авторегрессию, и скользящее среднее. Это приводит к комбинированной модели авторегрессии - скользящего среднего

 (1.2.4)

или

в которой имеется  неизвестных параметра:, оцениваемых по наблюдениям.

На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи моделей авторегрессии, скользящего среднего или комбинированной модели, в которых и не больше, а часто и меньше 2.

Нестационарные модели. Многие ряды, практически встречающиеся в промышленности или торговле (например, биржевые цены), обнаруживают нестационарный характер и, в частности, не колеблются относительно фиксированного среднего. Тем не менее их свойства могут быть в некотором смысле однородными. Например, хотя уровень, относительно которого происходят флуктуации, может быть разным в разные времена, поведение рядов с учетом различий в уровне оказывается во многом сходным. Мы покажем в гл. 4, что такой ряд может быть представлен обобщенным оператором авторегрессии , в котором один или несколько нулей полинома  [т.е. один или несколько корней уравнения ] равны единице. Тогда оператор  можно записать

,

где - стационарный оператор. При этом обобщенная модель, описывающая однородный нестационарный процесс, имеет вид

,

т. е.

,     (1.2.5)

.

Таким образом, однородный нестационарный процесс может быть описан моделью, которая требует, чтобы -я разность процесса была стационарной. На практике  обычно равно 0,1 или максимум 2.

Рис. 1.4б. Диаграмма модели авторегрессии- проинтегрированного скользящего среднего.

1-фильтр скользящего среднего, 2-стационарный фильтр авторегрессии, 3-нестационарный фильтр суммирования.

Процесс определенный (1.2.5) или (1.2.6), представляет собой эффективную модель для описания стационарных и нестационарных временных рядов и называется процессом авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка (). Процесс определён как

   (1.2.7)

с . Замети, что если заменить  на  при , модель (1.2.7) будет содержать как частный случай и стационарную комбинированную модель (1.2.2) и скользящего среднего ( 1.2.3).

Причина для включения в название АРПСС слова «проинтегрированный» (более точно, вероятно, было бы говорить «суммированный») заключается в следующем. Соотношение обратное (1.2.4), имеет вид

              (1.2.8)

Напомним, что - оператор суммирования, определённый как

 

Следовательно, обобщение процесс авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего можно получить из белого шума  с помощью трёх операций фильтрации, как показано на рис. 1.4б. Первый фильтр имеет вход  передаточную функцию  и выход , где

.    (1.2.9)

Второй фильтр имеет вход , передаточную функцию и выход , где

.        (1.2.10)

Наконец, третий фильтр, согласно (1.2.8), имеет вход  и выход  с передаточной функцией .

Как указано в главе 9, для описания сезонных временных рядов можно использовать специальную форму модели (1.2.7).