5.2.4. Вычисление вероятностных пределов прогнозов при произвольном упреждении

Из выражения (5.1.16) следует, что в общем дисперсия ошибки прогноза на  шагов вперед для любого момента , определяемая как математическое ожидание величины

равна

Например, по весам из табл. 5.1 были рассчитаны значения функции  для ряда , приведенные в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Дисперсии ошибок прогноза для ряда

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1,00	4,24	10,19	18,96	30,24	43,86	59,46	76,79	95,52	115,41

Из предположения, что  подчиняются нормальному закону, следует, что при известных значениях процесса до момента  условное распределение вероятности  будущего значения процесса будет также нормальным со средним значением  и стандартным отклонением .

На рис. 5.1 показаны условные распределения вероятности будущих значений  для ряда  при наличии информации о ряде до момента .

Мы покажем в гл. 7, как можно получить оценку  дисперсии  из наблюденных временных рядов. Когда число наблюдений, на которых основывается такая оценка, будет, скажем, не меньше 50,  можно заменить на , и приближенные -ные вероятностные пределы  и  для  будут иметь вид:

                              (5.2.6)

где  — это квантиль уровня  стандартного нормального распределения.

Рис. 5.1. Распределение условных вероятностей будущих значений ,  и  для ряда  при известной информации до момента .

В табл. 7.13 показано, что  для ряда ; следовательно, 50%-ные и 95%-ные пределы, например для , равны:

50%-ные пределы:

95%-ные пределы: .

Величины, которые нужно прибавить и вычесть из прогноза, чтобы получить 50- и 95%-ные пределы, показаны в 4-й и 5-й строках головок табл. 5.1 и 5.2. Они относятся к значениям прогнозов, расположенным непосредственно ниже их.

На рис. 5.2 показан участок ряда  вместе с прогнозами на несколько шагов вперед (крестики) для моментов  и . Там же показаны 50- и 95%-ные вероятностные пределы для  при , меняющемся от 1 до 14. Пределы  и  интерпретируются следующим образом. Если известна информация о временном ряде к моменту , то с вероятностью наблюденное значение  будет заключено в этих пределах, т. е.

Необходимо также пояснить, что эти вероятности относятся только к индивидуальным прогнозам, а не к совокупности прогнозов с различными упреждениями. Например, справедливо, что с 95%-ной вероятностью значение  будет заключено в пределах для упреждения 10. Но нельзя ожидать, что ряд окажется одновременно внутри всех пределов с этой же вероятностью.

Рис. 5.2. Прогнозы и вероятностные пределы для ряда . 1 — прогнозирующая функция, 2 — 50%-иые пределы, 3 — 95%-ные пределы.