6.2. Методика идентификации

6.2.1. Использование при идентификаций автокорреляционной и частной автокорреляционной функций

Идентификация порядка разности. В разд. 3.4.2 было показано, что автокорреляционная функция стационарного смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего удовлетворяет разностному уравнению

  

Кроме того, если  решение этого разностного уравнения для -й автокорреляции в предположении об отсутствии кратности корней имеет вид

        (6.2.1)

Условие стационарности, требующее, чтобы нули  лежали вне единичного круга, приводит к тому, что корни  лежат внутри единичного круга.

Из (6.2.1) следует, что для стационарной модели, у которой ни один из корней не лежит близко к границе единичного круга, автокорреляционная функция быстро затухает при средних и больших . Положим теперь, что один действительный корень, например  приближается к 1, так что

где  малое положительное число. Тогда, поскольку для больших

автокорреляционная функция не будет быстро затухать, а будет спадать медленно и почти линейно. Подобные рассуждения можно провести и в случае, когда к единице приближается не один корень.

Следовательно, отсутствие у автокорреляционной функции тенденции к затуханию может рассматриваться как свидетельство того, что существует корень, близкий к 1. Выборочная автокорреляционная функция похожа на теоретическую. Отсюда отсутствие затухания выборочной автокорреляционной функции логично истолковать в том смысле, что процесс  ведет себя нестационарно, хотя возможно, его разность  или какая-либо более высокая разность стационарна.

Оказалось, что нестационарность подсказывается отсутствием быстрого спада выборочной автокорреляционной функции. При этом не обязательно, чтобы выборочные корреляции при малых задержках были велики. Это иллюстрируется в приложении П6.1, где вычислены ожидаемые значения выборочной автокорреляционной функции для нестационарного процесса (0,1,1)  Как и следовало ожидать, величина  медленно убывает с , ее начальное значение  зависит от значения  и числа наблюдений в выборке и не должно быть близко к 1, если  близко к 1. Мы покажем это также в разд. 6.3.4 для ряда А рис. 4.1.

По приведенным причинам предполагается, что необходимая для получения стационарности степень разности  достигнута, если автокорреляционная функция ряда  быстро затухает. На практике  обычно равно 0, 1 или 2, и достаточно просмотреть примерно 20 первых значений автокорреляции исходного ряда, его первых и вторых разностей.

Идентификация результирующего стационарного процесса АРСС. Приняв предварительное решение о величине , мы далее изучаем общий вид выборочных автокорреляционной и частной автокорреляционной функций соответствующего разностного ряда, чтобы найти указания к выбору порядков  и  операторов авторегрессии и скользящего среднего. При этом мы должны помнить характерные особенности поведения теоретической автокорреляционной функции и теоретической частной автокорреляционной функции для процессов авторегрессии, скользящего среднего и смешанного процесса, рассмотренные в гл.3

В то время как автокорреляционная функция процесса авторегрессии порядкаспадает плавно, ее частная автокорреляционная функция имеет обрыв после -й задержки. Обратно, автокорреляционная функция процесса скользящего среднего порядка  обрывается после задержки, в то время как ее частная автокорреляция плавно спадает с ростом задержки. Далее, автокорреляционная функция смешанного процесса, содержащая компоненту авторегрессии порядка  и компоненту скользящего среднего порядка , после первых  задержек представляется в виде суммы экспонент и затухающих синусоид. Обратно, частная автокорреляционная функция смешанного процесса приближенно представляется суммой экспонент и затухающих синусоид после  задержек (см. табл. 3.2).

В общем поведение автокорреляционной функции процесса авторегрессии похоже на поведение частной автокорреляционной функции процесса скользящего среднего и наоборот. Например, автокорреляционная функция процесса авторегрессии первого порядка экспоненциально затухает, в то время как частная автокорреляционная функция обрывается после первой задержки. Соответственно для процесса скользящего среднего первого порядка автокорреляционная функция обрывается после первой задержки. Частная автокорреляционная функция — не точно экспоненциальная, но в ней преобладают экспоненциальные члены, определяющие ее общий вид.

Особенно важны процессы авторегрессии и скользящего среднего первого и второго порядков и простой смешанный процесс  Свойства теоретических автокорреляционной и частной автокорреляционной функций этих процессов сведены в табл. 6.1, которая требует внимательного изучения и является удобной справочной таблицей. Читатель должен также обращаться к рис. 3.2, 3.9 и 3.11, на которых показано типичное поведение автокорреляционной и частной автокорреляционной функций для процессов авторегрессии и скользящего среднего второго порядка и простого смешанного процесса

Соотношение между выборочными и теоретическими автокорреляциями. Выборочные автокорреляции могут иметь довольно большие дисперсии и быть сильно коррелированы друг с другом. По этой причине, как указывал Кендалл [29], нельзя ожидать детального сходства выборочной автокорреляционной функции с теоретической. В частности, умеренно большие значения выборочной автокорреляции могут наблюдаться и после того, как теоретическая автокорреляционная функция затухла; в выборочной функции могут наблюдаться всплески и тренды, не имеющиеся в теоретической функции. При использовании выборочной автокорреляционной функции для идентификации обычно можно быть уверенным в ее главных характеристиках, а более тонкие черты этой функции могут и не отражать реальных эффектов. Поэтому может понадобиться подобрать и исследовать далее на этапах оценивания и диагностической проверки две или даже большее число возможных моделей процесса.

Таблица 6.1. Поведение автокорреляционных функций для -й разности процесса АРПСС  [Таблица А и диаграммы B, C и D облегчающие вычисление приближенных оценок параметров процессов скользящего среднего первого и второго порядка, процесса авторегрессии второго порядка и смешанного процесса АРСС (1,1), приведены в конце данного выпуска.]

Порядок
Поведение Поведение Предварительные оценки Допустимый диапазон	Экспоненциально затухают Только	Только Доминирует экспоненциальное затухание
Порядок
Поведение  Поведение     Предварительные оценки             Допустимый диапазон	Наложение экспонент и затухающих синусоид   Только	Только Доминирует наложение экспонент и затухающих синусоид
Порядок
Поведение Поведение   Предварительные оценки       Допустимый диапазон	Экспоненциально затухают, начиная с первой задержки     С первой задержки доминирует экспоненциальное затухание