ПРИЛОЖЕНИЕ П10.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ МОДЕЛИ СО СКАЧКООБРАЗНЫМИ ВХОДАМИ

В разд. 10.3.1 (см. также рис. 10.9) было показано, что для скачкообразного входа выход любой запаздывающей непрерывной линейной системы

где для , может быть выдан в дискретные времена дискретным линейным фильтром

где веса все равны нулю, а веса определены как

, (П10.1.1)

, , (П10.1.2)

Пусть теперь динамика непрерывной системы описывается линейным дифференциальным уравнением -го порядка

, (П10.1.3)

которое можно представить в виде

где могут быть действительными или комплексными. Покажем теперь, что для скачкообразного входа выход этой непрерывной системы дискретно совпадает с выходом дискретной модели разностного уравнения порядка или порядка при . При , а для в общем случае не равно нулю и удовлетворяет дифференциальному уравнению

Отсюда

, ,

откуда при помощи (П10.1.1) и (П10.1.2) получаем

, (П10.1.4)

, (П10.1.5)

Нужно заметить, что в частном случае, когда , веса определены по (П10.1.2) для всех . Рассмотрим теперь модель разностного уравнения порядка

. (П10.1.6)

Если записать

то дискретная передаточная функция для этой модели удовлетворяет уравнению

. (П10.1.7)

Как было замечено в (10.2.8), приравнивая коэффициенты в (П10.1.7), мы получаем нулевых весов и, если , последующие значений не подчиняются общему ходу. Веса будут при достаточно больших удовлетворять уравнению

, , (П10.1.8)

для которого дают требуемых начальных значений. Запишем теперь

где — корни уравнения . Тогда решение (П10.1.8) имеет вид

, (П10.1.9)

где коэффициенты выбраны так, что решения (П10.1.9) для дают начальные значения . Обозначение напоминает о том, что А — функции . Тогда, если принять , то для данных параметров в (П10.1.6) и, следовательно, для данных параметров существует соответствующий набор значений , дающий соответствующие начальных значений . Далее нам известно, что . Отсюда

, (П10.1.10)

, (П10.1.11)

и мы можем приравнять значения весов в (П10.1.4) и (П10.1.5), полученных из дифференциального уравнения, и весов в (П10.1.10) и (П10.1.11), полученных из разностного уравнения. Для этого мы должны принять

, ,

тогда остающиеся уравнений

определяют через и .

При мы полагаем , и для данных параметров разностного уравнения существует набор значений — функций , производящих начальных значений . Их можно приравнять значениям (П10.1.5) для . Для этого полагаем

, ,

и остальные уравнений

определяют через и .

В общем для скачкообразного входа выход непрерывной динамической системы -го порядка, задаваемой уравнением

, (П10.1.12)

в моменты времени равен выходу дискретной модели

, (П10.1.1З)

порядка с соответственно выбранными параметрами. Далее, если , выход непрерывной модели (П10.1.12) равен в дискретные моменты времени выходу модели (П10.1.13) порядка .

Введем теперь дискретную модель, соответствующую системе второго порядка с запаздыванием, для которой результаты разд. 10 3 2 можно получить как частные случаи.

Система второго порядка с запаздыванием. Пусть дифференциальное уравнение, связывающее вход и выход непрерывной системы, имеет вид

, (П10.1.14)