ПРИЛОЖЕНИЕ П10.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Линейность (аддитивность) рассмотренных моделей передаточной функции означает, что результирующий отклик на сумму отдельных входных функций равен сумме откликов на каждую из этих входных функций. Конкретнее, если  — это отклик в момент  на вход  и  — отклик в момент  на вход , то отклик в момент  на вход  будет равен . Аналогичный эффект имеем для непрерывных входов и выходов. В частности, если входное значение умножено на некоторую константу, выходное значение умножается на ту же константу. На практике это предположение никогда не бывает совершенно точным, но во многих практических ситуациях оказывается достаточно хорошим приближением.

Модель нелинейных систем можно иногда получить, если допустить, что параметры системы в некоторых заданных пределах зависят от уровня входа. Положим, например, что система исследовалась в диапазоне, где  имеет максимум , и для любого  соотношение установившихся значений можно аппроксимировать квадратичным выражением

,

где  и , как и ранее, — отклонения от удобных начальных уровней.

Тогда

,

и динамическое поведение системы может быть описано разностным уравнением первого порядка (10.3.4) с переменным усилением, пропорциональным . Тогда

.                                  (П10.2.1)

Динамика простого химического реактора. Иногда оказывается возможным провести теоретический анализ реальной Проблемы в форме, удобной для использования передаточных функций. В частности, это позволяет очень детально исследовать эффекты, связанные с линейной аппроксимацией.

Например, положим, что чистый химический продукт  непрерывно подается в управляемый реакторный резервуар и в присутствии катализатора определенная его часть превращается в продукт  без изменения общего объема; продукт, непрерывно выходящий из реактора, будет смесью  и неизмененного .

Пусть система вначале находится в равновесии, измеряются (в соответствующих единицах) следующие величины:

1)  —скорость подачи  в реактор и, следовательно, скорость выхода смеси  и  из реактора;

2)  — доля неизмененного  в выходном продукте;  — доля  в выходном продукте;

3)  — объем реактора;

4)   — константа, определяющая скорость образования продукта .

Пусть реакция имеет «первый порядок» по отношению к , это означает, что скорость образования  и использования  пропорциональна количеству присутствующего . Скорость образования  будет тогда , скорость выхода  равна , и, так как система в равновесии,

,                                             (П10.2.2)

Пусть теперь равновесие системы нарушено; скорость подачи  в реактор в момент  равна ; соответствующая концентрация  в выходе равна . Теперь скорость химического образования , равная , вообще говоря, не будет уже равна скорости, с которой  выходит из системы (для последней имеем выражение ). Разность этих двух величин — это скорость увеличения  в реакторе, равная . Тогда

. (П10.2.3)

Пользуясь (П10.2.2) и перегруппировав члены в (П10.2.3), получаем

,

или

,                  (П10.2.4)

где

,   ,                           (П10.2.5)

Поскольку (П10.2.4) содержит произведение , это дифференциальное уравнение нелинейно. Однако, как мы покажем, в некоторых практических ситуациях его можно с достаточной точностью аппроксимировать линейным дифференциальным уравнением.

Процессы такого рода протекают при разнообразных условиях, но вполне правдоподобной является ситуация, при которой доля продукта , превращающаяся в , равна % и близка к 80%, а флуктуация  близка к 4%. В этом случае множитель  изменяется от 0,95 до 1,05 и с хорошей точностью равен единице. Нелинейное дифференциальное уравнение (П10.2.4) можно заменить тогда линейным дифференциальным уравнением первого порядка

 ,

где  и  определены в разд. 10.1.2. Если система наблюдалась бы в дискретные интервалы времени, это уравнение можно было бы аппроксимировать линейным разностным уравнением.

Конечно, могут встретиться ситуации, где нелинейность существенна. Это в особенности верно при исследованиях оптимизации, где диапазон вариаций переменных может быть велик. В условиях неадекватности линейной гипотезы иногда полезно представить динамику системы совокупностью линейных моделей, применимых в разных диапазонах значений входных переменных. Однако для дискретных систем часто более удобно работать непосредственно с нелинейным разностным уравнением, которое можно решить итерациями, а не аналитически. Например, мы можем заменить нелинейное дифференциальное уравнение (П10.2.4) нелинейным разностным уравнением

.