11.1.1. Свойства взаимных ковариационной и корреляционной функций

11.1. ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Точно так же как для идентификации случайных моделей использовалась автокорреляционная функция, инструментом анализа данных с целью идентификации моделей передаточных функций служит взаимная корреляционная функция входа и выхода. В этом разделе мы рассмотрим основные свойства взаимной корреляционной функции, а в следующем покажем, как ее использовать для идентификации моделей передаточных функций.

11.1.1. Свойства взаимных ковариационной и корреляционной функций

Двумерные случайные процессы. В гл. 2 (выпуск 1) было показано, что, анализируя статистический временной ряд, полезно рассматривать его как реализацию некой гипотетической популяции временных рядов, называемой случайным процессом.

Пусть мы хотим описать входной временной ряд и соответствующий выходной временной ряд для некоторой реальной системы. Например, на рис. 11.1 показаны непрерывные данные о входе — скорости подачи газа и о выходе — концентрации для газовой печи. Тогда эту пару временных рядов можно рассматривать как реализацию из гипотетической популяции временных рядов, называемой двумерным случайным процессом . Пусть данные считываются через равные интервалы времени, образуя пару дискретных временных рядов; их значения в моменты времени обозначены .

В этой главе подробно проиллюстрированы данные о газовой печи, считываемые каждые 9 с (рис. 11.1). Полученные таким образом значения приведены как ряд в конце этого выпуска.

Взаимные ковариационная и корреляционная функции. В гл. 2 было показано, что стационарный гауссовский случайный процесс может быть описан его средним значением и автоковариационной функцией или, что эквивалентно, его средним значением , дисперсией и автокорреляционной функцией . Далее, так как и , автоковариационную и автокорреляционную функции графически можно представлять только для неотрицательных задержек

В общем случае двумерный случайный процесс не обязательно стационарен. Однако, как и в гл. 4, мы предполагаем, что процесс , полученный из этого процесса взятием нужного числа разностей (т.е. ), стационарен.

Рис. 11.1. Скорость подачи газа на входе (в условных единицах) я концентрация (в %) на выходе газовой печи.

Ряс. 11.2 Автоковариация и взаимные ковариации двумерного случайного процесса.

Предположение о стационарности означает, в частности, что образующие пару процессы и обладают постоянными средними значениями и и постоянными дисперсиями и . Если, кроме того, предположить, что двумерный процесс нормальный, то он однозначно описывается своими средними значениями , и ковариационной матрицей. Рис. 11.2 иллюстрирует различные типы ковариаций, которые необходимо рассматривать при вычислении матрицы.

Коэффициенты автоковариаций каждого ряда — компоненты пары при задержке — определяются обычными формулами

где обозначения и используются теперь для автоковариаций рядов и . Кроме этих ковариаций, в ковариационной матрице могут появиться только два типа коэффициентов: коэффициенты взаимной ковариации между и при задержке

, (11.1.1)

и коэффициенты взаимной ковариации между и при задержке

, (11.1.2)

Заметим, что в общем не совпадает с . Однако, так как

мы должны определить только одну функцию для . Функция называется взаимной ковариационной функцией двумерного процесса. По аналогии безразмерная величина

, (11.1.3)

называется коэффициентом взаимной корреляции при задержке , и функция определенная при — взаимной корреляционной функцией двумерного процесса.

Так как в общем случае не равно , взаимная корреляционная функция,в отличие от автокорреляционной функции, не симметрична относительно . Фактически часто взаимная корреляционная функция равна нулю в некотором диапазоне скажем, от до или от до . Рассмотрим, например, взаимную ковариационную функцию между и для «задержанного» процесса авторегрессии первого порядка