11.1.2. Оценивание взаимных ковариационных и корреляционных функцийПредположим, что после взятия -х разностей от первоначальных входного и выходного временных рядов имеется пар значений , доступных для анализа. Тогда, как показано, например, в [27], выборочная оценка коэффициента взаимной ковариации для задержки дается выражением (11.1.4) где , — средние значения рядов и . Аналогично выборочная оценка коэффициента взаимной корреляции при задержке может быть получена подстановкой в (11.1.3) вместо , и их выборочных оценок и , что приводит к выражению , , (11.1.5) Пример. На практике для получения полезных оценок взаимной корреляционной функции нужно не менее 50 пар наблюдений. Однако, чтобы проиллюстрировать формулы (11.1.4) и (11.1.5), мы вычислим оценку взаимной корреляционной функции при задержках +1 и -1 для следующих рядов из 5 пар наблюдений:
Для этих рядов и отклонения от среднего равны
Отсюда и . Используя , получаем . Аналогично . Отсюда и . На рис. 11.4 показана выборочная взаимная корреляционная функция дискретных входных и выходных данных для газовой печи, полученных считыванием с непрерывных данных (на рис. 11.1) с шагом в 9 с. Ответим, что взаимная корреляционная функция не симметрична относительно нуля и имеет четко выраженный пик на , указывающий, что выход задержан относительно входа. Значения взаимных корреляций отрицательны. Этого следовало ожидать (см. рис. 11.1), так как увеличение скорости подачи газа уменьшает выходную концентрацию. Рис. 11.4. Взаимная корреляционная функция входа и выхода для данных газовой печи, считываемых через 9-секундные интервалы.
|