11.1.3. Приближенные стандартные ошибки выборочных оценок взаимных корреляций

Грубую проверку того, равны ли некоторые значения взаимной корреляционной функции  практически нулю, можно провести, сравнивая соответствующие выборочные оценки взаимной корреляции с их стандартными ошибками, полученными по формуле Бартлетта [78]. Он показал, что ковариация двух выборочных оценок взаимных корреляций  и  в предположении о нормальности равна

 (11.1.6)

В частности, приравнивая , получаем

(11.1.7)

Как отмечено Бартлеттом, из этих общих выражений можно получить формулы для важных частных случаев. Например, если предположить, что , справедливы следующие равенства:

 .

Учитывая их в (11.1.6) и (11.1.7), получаем выражение для ковариации между двумя выборочными автокорреляциями, в частности выражение для дисперсии выборочной автокорреляции, приведенное как (2.1.11) в гл. 2.

Часто бывает, что два процесса существенно коррелированы только в узком диапазоне задержек. Пусть задано, что  не равно нулю только на некотором отрезке . Тогда

а) если ни , ни , ни  не попадают в этот отрезок, все члены в (11.1.6), кроме первого, равны нулю, и

   (11.1.8)

б) если  не попадает в этот отрезок, (11.1.7) сводится аналогично к

,                         (11.1.9)

В частности, если предположить, что два процесса взаимно не коррелированы, отсюда следует, что простые формулы (11.1 8) и (11.1.9) применимы для любых задержек  и .

Другой частный случай, представляющий некоторый интерес, когда два процесса не коррелированы и один из них является белым шумом. Положим, что  — белый шум, а  обладает автокорреляцией. Тогда из (11.1.8) следует

,                              (11.1.10)

,                                                        (11.1.11)

Отсюда вытекает, что

,                                                          (11.1.12)

В этом случае выборочные взаимные корреляции имеют ту же автокорреляционную функцию, что и процесс . Таким образом, хотя  и  не коррелированы, выборочная взаимная корреляционная функция может варьировать относительно нуля со стандартным отклонением  систематическим образом, типичным для автокорреляционной функции .

Наконец, если оба процесса являются взаимно не коррелированными белыми шумами, ковариация между взаимными выборочными корреляциями будет равна нулю.