11.2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Покажем теперь, как идентифицировать комбинированную модель передаточной функции — шума

 

для линейной системы, содержащей шум  на выходе; предполагается, что шум генерирован процессом АРПСС, статистически независимым от входа . Конкретной целью этого этапа является получение представления о порядках  и  левого и правого операторов в модели передаточной функции и начальных значениях параметров  и параметра запаздывания . Кроме того, мы хотим весьма приближенно оценить параметры  процесса АРПСС, описывающего шум, и найти начальные оценки значений параметров  и  этой модели. Полученные таким образом пробные модели передаточной функции и шума могут быть использованы как начальные приближения в более эффективной процедуре оценивания, описанной в разд. 11.3.

Основные этапы процедуры идентификации. Предположим, что модель передаточной функции

                                                      (11.2.1)

может быть экономично параметризована в виде

,                                     (11.2.2)

где  и . Процедура идентификации состоит из

1) получения грубых оценок  весов  импульсного отклика в (11.2.1),

2) использования этих оценок  для получения представления о порядках  и  правого и левого операторов в (11.2.2) и параметра запаздывания ,

3) замены оценок  в уравнениях (10.2.8) значениями ,  и , полученными в (2), для определения начальных оценок параметров  и  в (11.2.2).

При известных  значения ,  и  можно оценить, пользуясь следующими фактами, установленными в разд. 10.2.2. Для модели вида (11.2.2) веса  импульсного отклика состоят из

а)  нулевых значений ,

б) последующих  значений  с произвольным поведением (таких значений нет, если ),

в) значений  при , поведение которых определяется разностным уравнением -го порядка с г начальными значениями . Начальные значения для  конечно, равны нулю.

Взятие разностей от входа и выхода. Основное средство, используемое при идентификации, — это взаимная корреляционная функция входа и выхода. Когда процессы не стационарны, предполагается, что стационарность можно ввести несколькими взятиями разностей. Нестационарное поведение можно заподозрить, если выборочные авто- и взаимные корреляционные функции рядов  не затухают достаточно быстро. Мы предполагаем, что нужная степень  взятия разностей достигнута, если выборочные авто- и взаимные корреляции ,  и  процессов  и  затухают достаточно быстро. На практике  обычно равно 0, 1 или 2.

Идентификация функции отклика на единичный импульс без предварительного выравнивания спектра. Пусть после взятия  разностей модель (11.2.1) можно представить в виде

,                                      (11.2.3)

где ,  и   — стационарные процессы с нулевыми средними значениями. Тогда, умножая все члены (11.2.3) на  для , получаем

,                         (11.2.4)

Если, далее, мы предположим, что  не коррелировано с  для всех ,  то, перейдя к математическим ожиданиям в (11.2.4), получим систему уравнений

,                       (11.2.5)

Пусть веса  практически равны нулю при . Тогда первые  уравнений (11.2.5) можно записать как

,                                                              (11.2.6)

где

,

 ,  .

Подставляя в (11.2.6) вместо  и  выборочные оценки автокорреляционной функции входа  и взаимной корреляционной функции между входом и выходом , получаем  линейных уравнений для первых весов. Однако эти уравнения не дают в общем случае эффективных оценок, их трудно решать, и в любом случае они требуют знания точки , за которой  практически равны нулю.