10.1.1. Дискретная передаточная функция

При соответствующих входе и выходе (читатель волен придумать их сам) динамическая система на рис. 10.1 может представлять промышленный процесс, экономику страны или поведение какой-либо корпорации или министерства.

Мы будем иногда называть величину выхода, полученную при фиксированном входе, установившимся значением. Под ним мы подразумеваем значение  дискретного выхода устойчивой системы, пришедшей

к окончательному равновесий после того, как вход был зафиксирован на постоянном уровне . Очень часто в пределах интересующего нас диапазона соотношение между  и  примерно линейное. Отсюда, если мы будем обозначать через  и  отклонения от удобных для нас уровней, мы можем записать стационарное соотношение как

,                                (10.1.1)

где  называется установившимся усилением: подразумевается, что  — функция .

Рис. 10.1. Вход и выход динамической системы.

Положим теперь, что значения входа меняются и что  и  — это отклонения от равновесия в момент . Тогда во многих случаях с достаточной точностью удается представить

инерционные свойства системы линейным фильтром вида

,      (10.1.2)

в котором выходное отклонение в некоторый момент времени представимо линейной комбинацией входных отклонений в моменты . Функция  называется передаточной функцией фильтра.

Рис. 10.2. Линейная передача входа  на выход .

Функция отклика на единичный импульс. Веса, , , ... в (10.1.2), рассматриваемые в зависимости от их номера, называют функцией отклика на единичный импульс (сокращенно, импульсным откликом). Функция отклика показана на рис. 10.1 в виде дискретных линий. Когда мгновенной реакции на вход нет, одно или несколько начальных значений  (например, ,  , …,) равны нулю.

Согласно (10.1.2), выходное отклонение можно рассматривать как линейную комбинацию ряда налагающихся друг на друга функций отклика на единичный импульс, умноженных на отклонение . Это иллюстрируется рис. 10.2, где показана гипотетическая функция отклика на единичный импульс и соответствующий ей процесс получения выходных значений по входным. В рассматриваемом случае вход и выход вначале находятся в равновесии; отклонения, возникающие на входе в моменты  и , вызывают соответствующие отклики на выходе, складывая которые можно получить результирующую полную реакцию выхода.

Соотношения между приращениями на входе и выходе. Обозначим через

и

приращения  и . Часто необходимо уметь связывать такие приращения входа и выхода. Беря разности в (10.1.2), получаем

.

Мы видим, что приращения и  удовлетворяют той же модели передаточной функции, что и , .

Устойчивость. Если бесконечный ряд  сходится при , система называется устойчивой. Мы будем рассматривать здесь только устойчивые системы и, следовательно, наложим такое ограничение на изучаемые модели. Требование устойчивости означает, что конечное приращение входа должно вызывать конечное приращение выхода.

Положим, что  зафиксировано на неопределенно долгое время на значении . Тогда, согласно (10.1.1),  постепенно придет к значению и установится на нем. Подставляя в (10.1.2) значения , , получаем

.                             (10.1.3)

Таким образом, для устойчивой системы сумма весов функции отклика на единичный импульс сходится к установившемуся усилению.

Экономичность. Часто параметризация системы через веса  может быть неудовлетворительной. Тогда расточительство в использовании параметров может привести к неточному и неустойчивому оцениванию модели на этапе оценивания. Далее, обычно неудобно непосредственно оценивать веса , поскольку, как мы увидим, во многих реальных ситуациях между разными  существует функциональная связь.