11.2.3. Идентификация модели шума

Возвращаясь к общему случаю, положим, что модель после взятия необходимого числа разностей, если это необходимо, может быть записана в виде

,

где

.

Если предварительная выборочная оценка  передаточной функции была получена способом, описанным в предыдущем разделе, выборочная оценка шума имеет вид

,

т. е.

.

Возможен и другой способ — заменить  пробной моделью передаточной функции , определенной в процессе предварительной идентификации. Тогда

и  может быть вычислено по формуле

.

В любом случае изучение выборочной автокорреляционной функции  может позволить идентифицировать модель шума.

Можно также идентифицировать шум, используя корреляционные функции входа и выхода после выравнивания спектра, действуя следующим образом.

Пусть спектр входа может быть выравнен точно, так что

,                                          (11.2.15)

где  и  связаны известным соотношением

.                                     (11.2.16)

Если можно найти стохастическую модель для , то, пользуясь (11.2.16), можно получить модель для  и, следовательно, для . Если мы запишем теперь , так что  и предположим, что справедливо наше предположение о независимости  и  а следовательно,  и , то получим

,                             (11.2.17)

Так как  — белый шум, можно получить выражение для , пользуясь формулой (3.1.8) для автокорреляционной функции линейного процесса.

Отсюда при помощи (11.2.10) получаем

.

Из (11.2.17) следует

,

и

   (11.2.8)

На практике нужно использовать выборочную оценку выравнивающего преобразования Если сделано приближенное выравнивающее преобразование, можно получить грубые оценки  из (11.2.18), подставив туда выборочные оценки взаимной корреляционной функции между преобразованными входом и выходом  и автокорреляционной функции преобразованного выхода .

Применение к примеру с газовой печью. В табл. 11.2 приведены несколько первых значений  и  и соответствующие значения , вычисленные по (11.2.18). В этой таблице малые значения корреляции мы заменили нулями, предположив, в частности, что  для  и  для .

Таблица 11.2. Расчет автокорреляционной функции шума в данных газовой печи

	1	2	3	4	5	6	7
	1,000 0,000 1,000	0,223 0,000 -0,382	0,359 0,000 0,126	0,081 -0,331 0,064	0,000 -0,456 0,000	0,000 -0,268 0,000	0,000 -0,168 0,000

Судя по автокорреляционной функции, шум может быть описан процессом авторегрессии первого порядка или процессом скользящего среднего первого порядка. Так как значение выборочной оценки  не слишком велико, то не существенно, какой из них будет выбран. Мы, однако, рассмотрим две эти возможности отдельно.

Сначала, если процесс типа АР(1), то при  модель для  будет

,

Далее, так как нам известно, что

,

идентификация указывает, что модель шума приближенно имеет вид

или

,      (11.2.19)

Так как два последних коэффициента малы, кажется разумным попробовать представить  процессом авторегрессии второго порядка примерно следующего вида:

.

Действуя другим способом, предположим, что  подчиняется процессу  . Пользуясь табл. А в сводке таблиц и диаграмм в конце выпуска 1, находим для значения  приближенную выборочную оценку . Отсюда модель  имеет вид

.

Деля на , получаем с достаточной точностью

,

что очень сходно с ранее предложенной моделью.

Таким образом, из анализа, проведенного в этом разделе и разд. 11.2.2, вытекает следующая идентификация модели газовой печи:

.                (11.2.20)

Далее, в качестве грубо приближенных начальных значений в процедурах нелинейного оценивания, рассматриваемых далее в разд. 11.3, можно использовать , , , , , , .