11.2.4. Некоторые общие соображения об идентификации моделей передаточных функций

Можно сделать некоторые общие замечания о только что описанных процедурах идентификации моделей передаточных функций и моделей шума.

1) Во многих практических ситуациях при заметном уровне шума недостаточный объем данных не позволяет использовать более сложные модели, чем система первого или второго порядка с запаздыванием типа (11.2.13) или ее упрощенные варианты.

2) Эффективное оценивание возможно только в предположении, что вид модели известен. Оценки , выражаемые формулой (11.2.12), являются, следовательно, по необходимости неэффективными. Они используются на этапе идентификации, потому что они легко вычисляются и могут выявить вид модели нуждающейся в подгонке более сложными средствами.

3) Даже если бы имелись более эффективные оценки, число весов , требуемых для полного описания функции отклика на единичный импульс, было бы значительно больше, чем число параметров модели передаточной функции. В то время как параметры  и  соответствующей модели передаточной функции поддавались бы весьма точному оцениванию, выборочные оценки соответствующих  могли бы обладать большой дисперсией и быть сильно коррелированными.

4) Дисперсия выборочной взаимной корреляции

имеет порядок . Поэтому можно ожидать, что  и, следовательно,  будут сильно искажены шумом, если не выполнено хотя бы одно из следующих условий:  достаточно велико по сравнению с остаточным шумом,  достаточно велико. Поэтому процедура идентификации требует, чтобы вариация входа была бы разумно большой по сравнению с вариацией, вызванной шумом, и (или) чтобы был доступным большой объем данных. Эти требования выполняются для данных о газовой печи, по "которым, как мы покажем в разд. 11.3, начальная идентификация проводится очень уверенно. Когда эти требования не выполнены, процедура идентификации может оказаться неудачной. В обычных ситуациях это означает, что по имеющимся данным можно сделать только очень грубые оценки. Однако можно все же провести некоторое упрощенное моделирование. Для этого надо постулировать какую-либо простую, но достаточно гибкую модель передаточной функции — шума, подогнать ее непосредственным применением методик наименьших квадратов, рассмотренных в следующем разделе, и применить диагностические проверки, указывающие, как усложнить модель, если это окажется необходимым.

Об отсутствии единственности в выборе модели. Пусть конкретная динамическая система описывается моделью

.

Тогда ее можно также представить как

,

где — произвольный оператор. Если приравнять  оператору , то получим

.

Вероятность того, что мы с помощью итераций придем к излишне усложненной модели, можно уменьшить, если придерживаться следующих правил.

1) Так как сравнительно простые модели передаточных функций первого или второго порядка (с запаздыванием или без него) часто вполне адекватны, итеративное построение моделей может начинаться с довольно простой модели; следует проверить, нельзя ли еще упростить модель, и переходить к более сложным, только если определенно выявится такая необходимость.

2) Следует всегда искать возможности устранения общих множителей в двух или более операторах, действующих на ,  и . Мы проиллюстрировали такой подход при идентификации модели шума, описанной в разд. 11.2.3. На практике мы будем пользоваться выборочными коэффициентами, которые могут быть известны с большими ошибками, и для выявления возможных общих множителей требуется большая интуиция. Упрощенную таким образом модель нужно подогнать заново и проверить, оправдано ли такое упрощение.

3) Когда упрощение модели сокращением множителей возможно, но мы его не заметили, процедура оценивания методом наименьших квадратов может стать крайне неустойчивой, так как минимуму в пространстве параметров будет соответствовать не точка, а линия или поверхность. Напротив, нестабильность решения может указывать на возможность упрощения модели, как подчеркивалось ранее. Одной из причин проведения идентификации перед подгонкой модели является необходимость избежать избыточности или, другими словами, достичь экономичности в параметризации.

Другой возможный метод идентификации моделей передаточной функции, который легко обобщается на случай многих входов, приведен в приложении П11.1.