Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


11.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПОДГОНОК И ПРОВЕРОК МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

11.4.1. Подгонка и проверка модели газовой печи

Проиллюстрируем теперь подход, описанный в разд. 11.3, на подгонке модели

,

идентифицированной для данных газовой печи в разд. 11.2.2 и 11.2.3.

Нелинейное оценивание. Использовались начальные оценки , полученные в разд. 11.2.2 и 11.2.3. При помощи алгоритма условных наименьших квадратов, описанного в разд. 11.3.2, значения наименьших квадратов с точностью в два десятичных знака были получены за четыре итерации. Чтобы показать сходимость итерационного процесса в неблагоприятных обстоятельствах, в табл. 11.4 приведены последовательности итераций с начальными значениями, равными +0,1 или -0,1. Тот факт, что даже в этих условиях сходимость для модели с таким большим числом параметров, как 7, была достигнута за 10 итераций, весьма ободряет.

Последняя строка в табл. 11.4 — это грубые предварительные оценки, полученные на этапе идентификации в разд. 11.2.2 и 11.2.3. Видно, что в этом примере они хорошо согласуются с оценками наименьших квадратов, данными в предыдущей строке.

Таблица 11.4. Сходимость подгонки модели к данным газовой печи нелинейным методом наименьших квадратов

Интерация

Сумма

квадратов

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,10

-0,46

-0,52

-0,63

-0,54

-0,50

-0,53

-0,53

-0,53

-0,53

-0,10

0,63

0,45

0,60

0,50

0,31

0,38

0,37

0,37

0,37

-0,10

0,60

0,31

0,01

0,29

0,51

0,53

0,51

0,51

0,51

0,10

0,14

0,40

0,12

0,24

0,63

0,54

0,56

0,56

0,57

0,10

0,27

0,52

0,73

0,42

0,09

0,01

0,01

0,01

0,01

0,10

1,33

1,37

1,70

1,70

1,56

1,54

1,53

1,53

1,53

0,10

-0,27

-0,43

-0,76

-0,81

-0,68

-0,64

-0,63

-0,63

-0,63

13 601

273,1

92,5

31,8

19,7

16,84

16,60

16,60

16,60

16,60

Предварительные

оценки

-0,53

0,33

0,51

0,57

0,02

1,51

-0,68

 

Итак, окончательно подогнанная модель передаточной функции имеет вид

,   (11.4.1)

          ,                               

а подогнанная модель шума —

,                                                (11.4.2)

                                                                    

с . Пределы в скобках соответствуют ±1 стандартной ошибке и найдены в процедуре нелинейного оценивания.

Диагностическая проверка. Прежде чем принять эту модель как адекватное представление системы, следует проделать проверки автокорреляций и взаимных корреляций способами, описанными в разд. 11.34 Выборочные автокорреляции для первых 36 задержек приведены в табл. 11.5 вместе с верхней гранью их стандартных ошибок  в предположении об адекватности модели. Поведение отдельных выборочных автокорреляций не дает указаний на неадекватность модели. Это подтверждается вычислением критерия  (11.3.18):

.

Таблица 11.5. Выборочная автокорреляционная функция  остаточных ошибок для подогнанной модели газовой печи

Задержка

Крайние

Границы

Стандартной

ошибки

1-12

13-24

25-36

0,02

-0,04

0,04

0,06

0,05

-0,02

-0,07

-0,09

0,02

-0,05

-0,01

0,09

-0,05

-0,08

-0,12

0,12

0,00

0,06

0,03

-0,12

-0,03

0,03

0,00

-0,06

-0,08

-0,01

-0,11

0,05

0,08

0,02

0,02

0,02

0,03

0,10

-0,10

0,06

±0,08

±0,06

±0,08

Сравнение  с таблицей  для  степеней свободы не дает основания оспаривать адекватность модели.

В табл. 11.6а приведены значения выборочной взаимной корреляционной функции  для первых 36 задержек, а также верхняя граница   их стандартных ошибок. Видно, что хотя выборочные взаимные корреляции не слишком велики по сравнению с их стандартными ошибками, они сильно коррелированы. Этого следовало ожидать, так как, согласно (11.3.19), выборочные взаимные корреляции подчиняются тому же стохастическому процессу, что и вход , а как мы уже видели, вход в этом примере сильно автокоррелирован.

Соответствующие выборочные взаимные корреляции между  и предварительно выравненным входом  приведены в табл. 11.66. Критерий (11.3.20) дает

.

Таблица 11.6а. Выборочная взаимная корреляционная функция  остаточных ошибок входа и выхода для данных газовой печи

Задержка

Крайние

Границы

Стандартной

ошибки

0-11

12-23

24-35

0,00

-0,03

-0,03

0,00

-0,03

-0,04

0,00

-0,03

-0,04

0,00

-0,07

-0,02

0,00

-0,10

-0,01

0,00

-0,12

0,02

-0,01

-0,12

0,04

-0,02

-0,10

0,05

-0,03

-0,04

0,06

-0,05

-0,01

0,07

-0,06

-0,01

0,07

-0,05

-0,02

0,06

±0,06

±0,06

±0,06

Таблица 11.6б. Выборочная взаимная корреляционная функция  остаточных ошибок предварительно выравнеииого входа и выхода для данных газовой печи

Задержка

Крайние

Границы

Стандартной

ошибки

0-11

12-23

24-35

-0,06

-0,03

-0,01

0,03

-0,11

-0,02

-0,01

0,02

0,05

0,00

0,04

-0,07

0,01

0,04

0,00

0,01

0,01

0,04

0,01

0,01

0,15

-0,04

-0,15

0,04

0,02

-0,03

0,03

0,07

-0,07

-0,02

-0,03

-0,08

0,00

-0,02

0,02

0,03

±0,06

±0,06

±0,06

Сравнение  с таблицей  для  степеней свободы также не дает указания на неадекватность модели.

Импульсный отклик и отклик на единичный скачок. Выборочная оценка  в (11.4.1) очень мала по сравнению с ее стандартной ошибкой ±0,14, и параметр модели  может быть опущен практически без влияния на точность оценок других рассматриваемых параметров. Окончательный вид комбинированной модели передаточной функции — шума для данных газовой печи есть

.

Функции отклика на единичный скачок и единичный импульс, соответствующие модели передаточной функции

,

приведены на рис. 11.6. Согласно (10.2.5), установившееся усиление кодированных данных равно

.

Результаты хорошо согласуются с полученными взаимным спектральным анализом [27].

Рис. 11.6. Отклики на единичные импульс (а) и скачок (б) для модели передаточной функции

Рис. 11.7. Среднеквадратичная ошибка выхода для различных интервалов отсчета.

Выбор интервала отсчета. Если возможен выбор, интервал отсчета следует брать достаточно малым по сравнению с постоянными времени, ожидаемыми для этой системы. В неясных случаях следует повторить анализ для нескольких интервалов. При выборе интервала отсчета существен уровень остаточного шума на выходе, и его дисперсия должна стремиться к минимуму по мере уменьшения интервала. Так, в рассмотренном выше примере с газовой печью непрерывная запись входа и выхода обеспечивалась самописцем. Дискретные данные, использованные в нашем анализе, были получены считыванием значений в точках этой непрерывной записи с интервалом 9 с. Этот интервал был выбран после рассмотрения записей, показанных на рис. 11.1; он показался достаточным для описания всех вариаций (кроме легкого дрожания пера) входа и выхода. Такого рода разумные практические предположения обычно достаточно надежны при выборе интервала. Выборочная среднеквадратичная ошибка для данных о газовой печи (полученная делением  на соответствующее число степеней свободы, где  — значения подогнанной модели выхода) при различных временных интервалах приведена в табл. 11.7. Эти значения показаны также на рис. 11.7. До тех пор пока интервал меньше 40 с, среднеквадратичная ошибка изменяется незначительно, а затем она резко возрастает. Для 9-, 18-и 27-секундных интервалов различия в среднеквадратичной ошибке невелики, а при интервале 36 с происходит значительное изменение. Видно, что интервал 9 с, использованный в этом примере, даже излишне безопасен.

Таблица 11.7. Среднеквадратичная ошибка выхода для различных интервалов отсчета

Длина интервала, с

Число наблюдений,

Среднеквадратичная ошибка

9

296

0,71

18

148

0,78

27

98

0,74

36

74

0,95

45

59

0,97

54

49

1,56

72

37

7,11

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>