11.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПОДГОНОК И ПРОВЕРОК МОДЕЛЕЙ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

11.4.1. Подгонка и проверка модели газовой печи

Проиллюстрируем теперь подход, описанный в разд. 11.3, на подгонке модели

,

идентифицированной для данных газовой печи в разд. 11.2.2 и 11.2.3.

Нелинейное оценивание. Использовались начальные оценки , полученные в разд. 11.2.2 и 11.2.3. При помощи алгоритма условных наименьших квадратов, описанного в разд. 11.3.2, значения наименьших квадратов с точностью в два десятичных знака были получены за четыре итерации. Чтобы показать сходимость итерационного процесса в неблагоприятных обстоятельствах, в табл. 11.4 приведены последовательности итераций с начальными значениями, равными +0,1 или -0,1. Тот факт, что даже в этих условиях сходимость для модели с таким большим числом параметров, как 7, была достигнута за 10 итераций, весьма ободряет.

Последняя строка в табл. 11.4 — это грубые предварительные оценки, полученные на этапе идентификации в разд. 11.2.2 и 11.2.3. Видно, что в этом примере они хорошо согласуются с оценками наименьших квадратов, данными в предыдущей строке.

Таблица 11.4. Сходимость подгонки модели к данным газовой печи нелинейным методом наименьших квадратов

Интерация								Сумма квадратов
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0,10 -0,46 -0,52 -0,63 -0,54 -0,50 -0,53 -0,53 -0,53 -0,53	-0,10 0,63 0,45 0,60 0,50 0,31 0,38 0,37 0,37 0,37	-0,10 0,60 0,31 0,01 0,29 0,51 0,53 0,51 0,51 0,51	0,10 0,14 0,40 0,12 0,24 0,63 0,54 0,56 0,56 0,57	0,10 0,27 0,52 0,73 0,42 0,09 0,01 0,01 0,01 0,01	0,10 1,33 1,37 1,70 1,70 1,56 1,54 1,53 1,53 1,53	0,10 -0,27 -0,43 -0,76 -0,81 -0,68 -0,64 -0,63 -0,63 -0,63	13 601 273,1 92,5 31,8 19,7 16,84 16,60 16,60 16,60 16,60
Предварительные оценки	-0,53	0,33	0,51	0,57	0,02	1,51	-0,68

Итак, окончательно подогнанная модель передаточной функции имеет вид

,   (11.4.1)

          ,                               

а подогнанная модель шума —

,                                                (11.4.2)

                                                                    

с . Пределы в скобках соответствуют ±1 стандартной ошибке и найдены в процедуре нелинейного оценивания.

Диагностическая проверка. Прежде чем принять эту модель как адекватное представление системы, следует проделать проверки автокорреляций и взаимных корреляций способами, описанными в разд. 11.34 Выборочные автокорреляции для первых 36 задержек приведены в табл. 11.5 вместе с верхней гранью их стандартных ошибок  в предположении об адекватности модели. Поведение отдельных выборочных автокорреляций не дает указаний на неадекватность модели. Это подтверждается вычислением критерия  (11.3.18):

.

Таблица 11.5. Выборочная автокорреляционная функция  остаточных ошибок для подогнанной модели газовой печи

Задержка													Крайние Границы Стандартной ошибки
1-12 13-24 25-36	0,02 -0,04 0,04	0,06 0,05 -0,02	-0,07 -0,09 0,02	-0,05 -0,01 0,09	-0,05 -0,08 -0,12	0,12 0,00 0,06	0,03 -0,12 -0,03	0,03 0,00 -0,06	-0,08 -0,01 -0,11	0,05 0,08 0,02	0,02 0,02 0,03	0,10 -0,10 0,06	±0,08 ±0,06 ±0,08

Сравнение  с таблицей  для  степеней свободы не дает основания оспаривать адекватность модели.

В табл. 11.6а приведены значения выборочной взаимной корреляционной функции  для первых 36 задержек, а также верхняя граница   их стандартных ошибок. Видно, что хотя выборочные взаимные корреляции не слишком велики по сравнению с их стандартными ошибками, они сильно коррелированы. Этого следовало ожидать, так как, согласно (11.3.19), выборочные взаимные корреляции подчиняются тому же стохастическому процессу, что и вход , а как мы уже видели, вход в этом примере сильно автокоррелирован.

Соответствующие выборочные взаимные корреляции между  и предварительно выравненным входом  приведены в табл. 11.66. Критерий (11.3.20) дает

.

Таблица 11.6а. Выборочная взаимная корреляционная функция  остаточных ошибок входа и выхода для данных газовой печи

Задержка													Крайние Границы Стандартной ошибки
0-11 12-23 24-35	0,00 -0,03 -0,03	0,00 -0,03 -0,04	0,00 -0,03 -0,04	0,00 -0,07 -0,02	0,00 -0,10 -0,01	0,00 -0,12 0,02	-0,01 -0,12 0,04	-0,02 -0,10 0,05	-0,03 -0,04 0,06	-0,05 -0,01 0,07	-0,06 -0,01 0,07	-0,05 -0,02 0,06	±0,06 ±0,06 ±0,06

Таблица 11.6б. Выборочная взаимная корреляционная функция  остаточных ошибок предварительно выравнеииого входа и выхода для данных газовой печи

Задержка													Крайние Границы Стандартной ошибки
0-11 12-23 24-35	-0,06 -0,03 -0,01	0,03 -0,11 -0,02	-0,01 0,02 0,05	0,00 0,04 -0,07	0,01 0,04 0,00	0,01 0,01 0,04	0,01 0,01 0,15	-0,04 -0,15 0,04	0,02 -0,03 0,03	0,07 -0,07 -0,02	-0,03 -0,08 0,00	-0,02 0,02 0,03	±0,06 ±0,06 ±0,06

Сравнение  с таблицей  для  степеней свободы также не дает указания на неадекватность модели.

Импульсный отклик и отклик на единичный скачок. Выборочная оценка  в (11.4.1) очень мала по сравнению с ее стандартной ошибкой ±0,14, и параметр модели  может быть опущен практически без влияния на точность оценок других рассматриваемых параметров. Окончательный вид комбинированной модели передаточной функции — шума для данных газовой печи есть

.

Функции отклика на единичный скачок и единичный импульс, соответствующие модели передаточной функции

,

приведены на рис. 11.6. Согласно (10.2.5), установившееся усиление кодированных данных равно

.

Результаты хорошо согласуются с полученными взаимным спектральным анализом [27].

Выбор интервала отсчета. Если возможен выбор, интервал отсчета следует брать достаточно малым по сравнению с постоянными времени, ожидаемыми для этой системы. В неясных случаях следует повторить анализ для нескольких интервалов. При выборе интервала отсчета существен уровень остаточного шума на выходе, и его дисперсия должна стремиться к минимуму по мере уменьшения интервала. Так, в рассмотренном выше примере с газовой печью непрерывная запись входа и выхода обеспечивалась самописцем. Дискретные данные, использованные в нашем анализе, были получены считыванием значений в точках этой непрерывной записи с интервалом 9 с. Этот интервал был выбран после рассмотрения записей, показанных на рис. 11.1; он показался достаточным для описания всех вариаций (кроме легкого дрожания пера) входа и выхода. Такого рода разумные практические предположения обычно достаточно надежны при выборе интервала. Выборочная среднеквадратичная ошибка для данных о газовой печи (полученная делением  на соответствующее число степеней свободы, где  — значения подогнанной модели выхода) при различных временных интервалах приведена в табл. 11.7. Эти значения показаны также на рис. 11.7. До тех пор пока интервал меньше 40 с, среднеквадратичная ошибка изменяется незначительно, а затем она резко возрастает. Для 9-, 18-и 27-секундных интервалов различия в среднеквадратичной ошибке невелики, а при интервале 36 с происходит значительное изменение. Видно, что интервал 9 с, использованный в этом примере, даже излишне безопасен.

Таблица 11.7. Среднеквадратичная ошибка выхода для различных интервалов отсчета

Длина интервала, с Число наблюдений, Среднеквадратичная ошибка

9 296 0,71

18 148 0,78

27 98 0,74

36 74 0,95

45 59 0,97

54 49 1,56

72 37 7,11