11.4.2. Искусственный пример с двумя входами

Подгонка моделей более чем с одним входным рядом не вызывает принципиальных трудностей, если не считать увеличения числа анализируемых параметров.

Например, в случае двух входов можно записать модель как

где , , и — стационарные процессы. Для вычисления мы вначале вычислим при конкретных значениях параметров

, (11.4.3)

и при конкретных значениях параметров

. (11.4.4)

Тогда шум можно вычислить по формуле

, (11.4.5)

и, наконец, по формуле

. (11.4.6)

Искусственный пример. Ясно, что даже простая ситуация может привести к оцениванию большого числа параметров. В нижеследующем примере с двумя входными переменными и моделями первого порядка с запаздыванием имеется восемь неизвестных параметров. Для того чтобы определить, применима ли для оценок параметров в таких моделях нелинейная процедура наименьших квадратов, описанная в разд. 11.3.2, был проведен эксперимент с искусственными данными.

Рис. 11.8. Данные искусственного примера с двумя входами (ряд ).

Подробности эксперимента описаны в [85]. Данные генерировались моделью, -представление которой имело вид

(11.4.5)

с и . Входные переменные , изменялись в соответствии с рандомизированным -факториальным планом с тремя репликами. Предполагалось, что каждое значение на входе поддерживалось постоянным в течение 5 мин, а наблюдения на выходе делались каждую минуту. Данные представлены на рис. 11.8 и содержатся в виде ряда в сводке временных рядов в конце книги.

Для получения оценок наименьших квадратов использовалась итеративная нелинейная процедура с ограничениями, описанная в гл. 7. Необходимо было только вычислять . Так, для заданных значений параметров значения и можно было получить из

Они использовались для расчета :

Наконец, при заданных значения можно было вычислить по формуле

Предполагалось, что входы процесса поддерживаются в типичных условиях некоторое время до начала эксперимента, так что и и, следовательно, можно вычислять вперед с , а с .

Процедура опробовалась дважды, с разными наборами начальных значений. В первом расчете был взят набор параметров, который мог бы предложить человек, знакомый с изучаемым процессом. Во втором в качестве начального значения было взято среднее значение всех наблюдений, а остальные начальные значения были приравнены 0,1. Поэтому вторая попытка описывает значительно худшую ситуацию, чем обычно бывает на практике. В табл. 11.8 показано, что для первого набора начальных значений сходимость наступает после 5 итераций, а табл. 11.9 показывает, что для второго набора сходимость достигнута после 9 итераций. Эти результаты позволяют надеяться, что в реальных обстоятельствах оценивание системы с двумя входами не встретит серьезных трудностей.

Таблица 11.8. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании предположительных начальных значений

Интерация

Сумма квадратов

59,19

59,20

59,24

59,35

59,41

59,39

10,00

9,07

8,38

9,24

11,90

12,03

12,08

12,07

-7,00

-6,37

-5,35

-3,98

-3,40

-3,52

-3,53

-0,50

-0,58

-0,70

-0,75

-0,80

-0,79

-0,50

-0,56

-0,59

-0,55

-0,56

-0,57

-0,56

1,00

1,33

2,03

3,45

5,21

4,99

5,03

1,00

1,31

1,75

1,95

1,66

1,76

1,77

0,10

0,24

0,39

0,36

0,22

0,21

2046,8

1085,4

621,5

503,5

463,7

461,8

Таблица 11.9. Сходимость нелинейного метода наименьших квадратов для системы с двумя входами при использовании экстремальных начальных значений

Интерация

Сумма квадратов

59,19

59,22

59,21

59,31

59,61

59,47

59,41

59,39

0,10

0,24

1,62

1,80

3,01

6,17

15,83

10,31

11,89

12,07

0,10

-0,07

-0,29

-0,77

-1,31

-2,82

-3,25

-3,48

-3,41

-3,52

-3,53

0,10

-1,51

-2,09

-1,75

-1,15

-0,93

-0,70

-0,74

-0,79

0,10

1,77

-0,07

0,20

0,91

3,03

8,88

3,52

5,01

5,04

5,03

0,10

1,77

-0,07

0,20

0,91

3,03

8,88

3,52

5,01

5,04

5,03

0,10

-0,28

0,26

-0,10

0,22

1,20

1,64

1,63

1,65

1,76

1,77

0,10

0,15

0,29

0,56

0,72

0,67

0,26

0,23

0,20

0,21

2496,4

2190,5

1473,6

1016,8

743,1

611,4

534,2

501,9

462,8

461,8