12.1.1. Регулирование с прямой связью, минимизирующее среднеквадратичную ошибку

Предположим, что , ,  — отклонения от опорных значений, обладающие следующим свойством: если они все время сохраняются равными нулю (т. е. , , ), то процесс остается в равновесном состоянии, так что выход точно соответствует номиналу .

Предположим, что модель передаточной функции, связывающая наблюдаемое возмущение  (концентрация сырья) и выход  (вязкость продукта), имеет вид

.

Пусть в  вносятся изменения в моменты  непосредственно после того, как получены наблюдения. Таким образом, мы имеем «скачкообразный» вход; уровень  в интервале от  до  обозначим как . Предположим, что модель передаточной функции, связывающая при этом типе входа компенсирующее переменное  (давление пара) и выход  (вязкость), имеет вид

,

где  и  — полиномы от . Тогда в отсутствие регулирования (потенциальное компенсирующее переменное  зафиксировано на значении ), суммарная ошибка выходной вязкости будет

.

Ясно, что необходимо иметь возможность скомпенсировать влияние измеренных частей полного возмущения варьированием . Пусть в момент  и в точке  на рис. 12.1

1) полный эффект возмущения   равен

;

2) полный эффект компенсации  равен

.

Тогда эффект наблюдаемого возмущения  может быть устранен, если мы положим

.

Регулирующее действие в момент  должно быть таким, чтобы

,           (12.1.1)

Случай 1: . В момент  значения  неизвестны. Поэтому регулирующее действие (12.1.1) реализуемо непосредственно только при , причем нужное действие в момент  заключается в .приведении управляемого переменного  к уровню

.

Часто более удобным оказывается другой способ: регулирование определяется как изменение , которое необходимо ввести в уровень  непосредственно после получения наблюдения . Это значит, что

.          (12.1.2)

Эта ситуация иллюстрируется рис. 12.2. Эффект в точке  от регулирующего действия равен  и он точно компенсирует эффект возмущения в . Компонента отклонения от номинала, вызванная  полностью (по крайней мере, теоретически) устранена в моменты наблюдений, и только компонента  вызванная ненаблюдаемым возмущением, остается.

Рис. 12.2. Схема регулирования с прямой связью в момент  при . Обозначения те же, что и на рис. 12.1.

Случай 2:  отрицательно. Может оказаться, что . Это означает, что наблюдаемое возмущение достигает выхода, прежде чем компенсирующее действие может оказать эффект. В этом случае действие

,     (12.1.3)

не реализуемо, поскольку в момент , когда оно должно быть произведено, необходимое для этого значение возмущения  еще не получено. Желательно, если это возможно, избегать такой ситуации (например, используя вместо  более быстродействующее компенсирующее переменное), но иногда это не осуществимо.

Пусть возмущение  можно представить линейной моделью

,

где, как и ранее,  — белый шум с нулевым средним значением и дисперсией ; тогда

.

В этом выражении

— ошибка прогноза. Правую часть (12.1.3) можно в этом случае представить в виде

.

Здесь  — функция некоррелированных случайных отклонений , которые еще не произошли к моменту  и которые не коррелированы с любым переменным, известным к моменту  . Следовательно, эти отклонения непредсказуемы. Отсюда следует, что оптимальное регулирующее действие получается, если положить

,                  (12.1.4)

т. е. внести в момент  изменение в компенсирующее переменное, равное

,    (12.1.5)

Это приводит к дополнительной компоненте в отклонении  от номинала, которое теперь становится равным

.

Эта схема иллюстрируется диаграммой на рис. 12.3. На практике модель  будет получаться в виде , и прогноз  будет представим простой функцией значений  и  , как в гл. 5.