10.2.2. Природа передаточной функции

Если использовать модель передаточной функции, определенную разностным уравнением (10.2.2), и подставить

                                      (10.2.6)

в (10.2.2), то мы получим тождество

,            (10.2.7)

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим

(10.2.8)

Веса  дают  начальных значений для разностного уравнения

,    .

Решение

 

этого разностного уравнения применимо ко всем значениям , для которых   .

Итак, в общем веса отклика на единичный импульс  состоят из 1)  нулевых значений; 2) следующих за ними  значений  с произвольным поведением (таких значений нет, если ); 3) значений  с , ход которых определяется разностным уравнением -го порядка, которое имеет  начальных значений. Начальные значения  для  будут, конечно, равны нулю.

Отклик на единичный скачок. Обозначим производящую функцию для весов  отклика на единичный скачок . Имеем

   (10.2.9)

и

.                                       (10.2.10)

Подстановка (10.2.10) в (10.2.7) приводит к тождеству

,    (10.2.11)

откуда

.        (10.2.12)

Тождество (10.2.11) для весов  отклика на скачок полностью аналогично тождеству (10.2.7) для весов отклика на единичный импульс, если только учесть, что оператор в левой части   имеет порядок , а не .

Пользуясь выражениями (10.2.8), найдем, что функция отклика на единичный скачок состоит из следующих значений: 1)  нулевых значений ; 2) последующих   значений  с произвольным поведением (таких значений нет, если  ); 3) значений   для , ход которых диктуется разностным уравнением  -гo порядка с  начальными значениями . Начальные значения  для , конечно, равны нулю.