10.2.3. Дискретные модели передаточных функций первого и второго порядковМодели передаточных функций первого и второго порядков для всех комбинаций и подробно описаны в табл. 10.1. Примеры некоторых моделей с дискретными диаграммами откликов на единичные скачок и импульс приведены на рис. 10.6. Уравнения в конце табл. 10.1 выражают параметры разностной -формы модели через параметры представления модели через оператор . Эти уравнения соответствуют самой общей модели с . Все остальные модели — это частные случаи общей модели, и соответствующие им уравнения можно получить приравниванием нулю соответствующих коэффициентов. Например, если и , , то , , . На рис. 10.6 начальные значения для дифференциальных уравнений, соответствующие откликам на единичные импульс и скачок, показаны кружками. Обсуждение моделей, приведенных в таблице. Модели, свойства которых рассмотрены в табл. 10.1 и на рис. 10.6, заслуживают очень внимательного изучения, так как они полезны для описания многих часто встречающихся на практике динамических систем. Во всех этих моделях оператор в правой части показывает, что первый ненулевой член в функции отклика на единичный импульс равен . В примерах, приведенных на рис. 10.6, g предполагается равным единице, a . Модели с . Когда и равны нулю, функция отклика на единичный импульс содержит только один член . Выход пропорционален входу, но смещен на временных интервалов. В более общем случае, если оператор справа имеет порядок , выходной отклик будет задержан на временных интервалов относительно импульсного входа и будет занимать значение с амплитудами . Отклик на скачок получается суммированием весов отклика на единичный импульс и удовлетворяет уравнению с начальными значениями .
Рис. 10.6. Примеры функций отклика на единичный импульс и скачок при усилении . Таблица 10.1. Функции отклика на единичный импульс для моделей передаточных функций вида
Модели с . При отклик на единичный импульс экспоненциально затухает от начального значения . Отклик на единичный скачок экспоненциально затухает, пока не достигнет значения . Если экспоненциальную функцию отклика на скачок проэкстраполировать назад (как показано точками), она пересечет ось времен в момент . Это соответствует тому факту, что и , и являются начальными значениями соответствующего разностного уравнения . При существует начальное значение отклика на единичный импульс , которое не соответствует общему ходу. Экспоненциальная кривая, определяемая разностным уравнением , соответствующим оператору в левой части, начинается со значения . Отклик на скачок ведет себя как экспонента, удовлетворяющая разностному уравнению ; его начальные значения и ; с ростом отклик асимптотически приближается к . Экстраполяция этой экспоненциальной кривой назад показана точечной линией. В общем случае она пересекает ось времен в некоторой промежуточной точке между отсчетами. В разд. 10.3 будет показано, что некоторые дискретные модели, аппроксимирующие непрерывные системы первого порядка с дробным временем запаздывания, могут быть описаны разностным уравнением первого порядка с оператором в правой части, у которого . При имеются два значения и отклика на единичный импульс, не следующие общему ходу: за ними с начинается экспоненциальный спад. Соответственно у отклика на единичный скачок имеется единственное значение , не согласующееся с общим экспоненциальным поведением, выраженным проэкстраполированной назад точечной линией. Эта кривая, как и ранее, определена разностным уравнением , но с начальными значениями и . Модели с . Гибкость моделей с весьма ограниченна, потому что первое начальное значение функции отклика на единичный импульс должно равняться нулю. Более полезными являются модели с и . Использование этих моделей для аппроксимации непрерывных систем второго порядка обсуждается в разд. 10.3 и приложении П10.1. Поведение динамических весовых значений которые при достаточно больших удовлетворяют уравнению (10.2.13) зависит от природы корней и характеристического уравнения . Эта зависимость показана в табл. 10.2. Как и в непрерывном случае, модель может быть перезатушена, критически затушена или недозатушена в зависимости от природы корней характеристического уравнения. Таблица 10.2. Зависимость свойств системы второго порядка от корней уравнения
Когда корни уравнения комплексные, решение (10.2.13) будет затухающей синусоидой, как в примерах систем второго порядка на рис. 10.6. Когда корни уравнения действительны, решение будет суммой двух экспонент. Как и в непрерывном случае, рассмотренном в разд. 10.1.2, можно трактовать эту систему как эквивалентную двум последовательно соединенным системам первого порядка с параметрами и . Веса функции отклика на единичный скачок при достаточно больших подчиняются разностному уравнению , имеющему ту же форму, что и (10.2.13). Следовательно, характер изменения функции отклика на скачок относительно его асимптотического значения такой же, как и у отклика на единичный импульс относительно оси времен. В случаях, когда у характеристического уравнения существуют комплексные корни, функция отклика на скачок достигает значений, больших , а затем осциллирует относительно этого значения, пока не достигнет равновесия. Когда корни уравнения действительны и положительны, функция отклика на скачок, являющаяся суммой двух экспоненциальных членов, приближается к своей асимптоте , не пересекая ее. Однако, если у уравнения существуют отрицательные действительные корни, отклик на скачок может превзойти значение , а затем постепенно прийти к состоянию равновесия. На рис. 10.5 точками показаны две дискретные функции отклика на скачок, обозначенные и , соответствующие дискретному единичному скачку на входе, показанному точками в нижней части рисунка. Модели разностных уравнений, соответствующие и , это , . На рис. 10.5 показана также диаграмма области устойчивости с точками , соответствующими значениям параметров каждой из моделей. Заметим, что функция отклика на скачок для модели с действительными положительными корнями характеристического уравнения не переходит через уровень равновесия, а та же функция для модели с комплексными корнями переходит через этот уровень.
|