10.2.4. Рекуррентный расчет выхода для произвольного входа

Было бы крайне затруднительно пользоваться выражением (10.1.2) для отклика на единичный импульс при вычислении выхода по данному входу. К счастью, это не является необходимым. Вместо этого можно прямо использовать модель разностного уравнения. Этим способом весьма просто рекуррентно рассчитывать выход по любому входу. Рассмотрим, например, модель с  и . Тогда

                                                        

или

.                      (10.2.14)

В табл. 10.3 показан расчет  в случае, когда вход  есть: а) единичный импульс, б) единичный скачок, в) «произвольный» вход.

Таблица 10.3. Вычисление выхода дискретной системы первого порядка при подаче на вход единичного импульса, единичного скачка, произвольной функции

	Импульс	Выход	Скачок	Выход	Произвольная функция	Выход
0 1 2 3 4 5 6	0 1 0 0 0 0 0	0 0 2,5 1,25 0,62 0,31 0,16	0 1 1 1 1 1 1	0 0 2,5 3,75 4,38 4,69 4,84	0 1,5 0,5 2,0 1,0 -2,5 0,5	0 0 3,75 3,12 6,56 5,78 -3,36

Рис. 10.7. Отклик системы первого порядка на импульс, скачок и «произвольный» вход.

Во всех случаях предполагается, что начальное значение выхода . Для выполнения рекуррентных вычислений напишем разностное уравнение так, чтобы  стояло слева. Тогда

,

и в случае, например, «произвольного» входа

 

и т. д. Эти входы и выходы показаны на рис. 10.7, а-в.

В общем запись модели передаточной функции в форме

— удобный способ вычислять дискретный выход для любого дискретного входа. Для начала рекуррентного расчета надо иметь некоторые начальные значения. Эта необходимость не есть, конечно, недостаток метода, а вызвана тем, что у модели передаточной функции начальные значения  будут зависеть от значений , существовавших до начала наблюдений. На практике, если нужные начальные значения неизвестны, мы можем заменить их средними значениями неизвестных  и  (нулями, если  и рассматриваются как отклонения от их средних значений). Тогда близкие к началу значения выхода будут зависеть от выбора начальных значений. Однако для устойчивой системы влияние этого выбора будет пренебрежимо мало после того, как пройдет период времени, достаточный для затухания отклика на единичный импульс. Если этот период равен  интервалам, то альтернативная процедура — это вычисление  прямо по функции отклика на единичный импульс до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для начала рекурсии.